מיוריזציה

מיוֹריזציה (גם מג'וריזציה או מיוּר) היא קדם-סדר חלקי בין וקטורים של מספרים ממשיים. הכוונה היא שוקטור אחד "חוסם" או "גדול יותר" מבחינה מסוימת ממקטור אחר.

יהי d מספר טבעי ויהי a וקטור ב-R^d. וקטור נקרא וקטור לא-עולה אם הרכיבים שלו מסודרים בסדר יורד, כלומר כל רכיב לא קטן מהשני שאחריו.

נניח ששני וקטורים לא-עולים a ו-b. אומרים ש-a ממייר את b (כותבים a≽b) אם מתקיימים שני תנאים: סכום כל הרכיבים של a שווה לסכום כל הרכיבים של b, ולכל k בין 1 ל-d-1 סכום הרכיבים הראשונים של a עד המקום ה-k גדול או שווה לסכום הרכיבים הראשונים של b עד המקום ה-k. עבור וקטורים שלא מסודרים קודם, מסדרים אותם בסדר לא-עולה ואז בודקים את התנאים.

יש ניסוחים שמקבילים להגדרה הזאת. ראשית, a≽b בדיוק כאשר קיימת מטריצה דו-סטוכסטית D (מטריצה עם סכום שורות ועמודות מתאים לשימור מסת ערכים) כך ש-b=Da. שנית, a≽b בדיוק כאשר ניתן לכתוב את b כצירוף קמור של תמורות (החלפות) של a: כלומר יש תמורות P_i ומקדמים חיוביים c_i שסכומם 1, כך ש-b=
sum_i c_i P_i a. משמעות הדבר ש-b נמצא בתוך הפאון הקמור שנוצר מההחלפות של a. שקילות ההגדרות נובעת ממשפט בירקהוף-פון נוימן.

מיווריזציה מופיעה בחקר ביטויים סימטריים, למשל בסכמות שמוסיפים ביטויים על-פני כל ההחלפות של משתנים, כמו סכום על כל ההחלפות σ ב-S_d של x_{σ1}^{a1} x_{σ2}^{a2} ... x_{σd}^{ad}.

מיוּר (מיוֹריזציה) אומר מתי רשימה של מספרים אחת "גדולה" מהשנייה בדרך מיוחדת.

קודם מסדרים כל רשימה מהמספר הגדול לקטן. אז בודקים שני דברים: שתי הרשימות נותנות את אותו סכום בכל המספרים. וגם, עבור כל k, סכום ה-k מספרים הראשונים ברשימה הראשונה גדול או שווה לסכום ה-k מספרים הראשונים בשנייה.

אפשר להבין את זה אחרת: אפשר לקבל את הרשימה השנייה על ידי ערבוב מחדש של המספרים של הראשונה ופעמים רבות על ידי ערבוב עם משקלות. יש גם דרך להשתמש ב"טבלה מיוחדת" של מספרים (מטריצה) כדי להראות זאת. התכונה הזו שקולה לכל הדרכים האלו.

מיוּר שימושי כשבודקים ביטויים שמוסיפים תוצאות על כל הסידורים של מספרים.