סכום של שני ריבועים
להציג מספר כ־a^2+b^2 פירושו לחבר שני ריבועים. ריבוע הוא מספר כפול עצמו. הבעיה ידועה מאוד. פיבונאצ'י הראה שאם יש הצגה לשני מספרים, אפשר להכין הצגה למכפלה שלהם. לכן מספיק לדעת להצגה של המספרים הראשוניים. פרמה גילה כלל חשוב: ראשוניים שנותרים 1 כשמחלקים ב־4 (משאירים שארית 1) אפשר לכתוב כסכום של שני רי...
סכום
סכום הוא חיבור של דברים. הדברים האלה נקראים איברים (הדברים שמחברים). דוגמה קצרה: 1 + 2 + 4 = 7. חיבור הוא אסוציאטיבי. זה אומר שאפשר לקבץ בדרך שונה ואין שינוי בתוצאה. חיבור גם קומוטטיבי. זה אומר שהסדר לא משנה כשמחברים מספרים. כשרוצים לקצר רשימה כותבים …. למשל: 1 + 2 + … + 100 = 5050. משתמשים בסי...
סכום ישר
סכום ישר הוא דרך לחבר כמה מבנים מתמטיים כך שכל חלק נשאר נפרד. סימן הנפוץ הוא ⊕. אם A הוא סכום ישר של B ו‑C, אז אפשר לראות את A כמקום שכולל את שני החלקים בלי שהם יתערבבו. במתמטיקה יש שיטה כללית לשוחח על מבנים ומפות ביניהם. לפי שיטה זו, סכום ישר הוא אובייקט שמקבל מכל חלק הזרקה ייחודית אליו. כלומר, ...
בעיית הסכומים החלקיים
בעיית הסכום החלקי שואלת: נתונה קבוצת מספרים. האם יש תת־קבוצה לא ריקה שסכומה הוא אפס? לדוגמה: בקבוצה {-7, -3, -2, 8, 5} יש את התת־קבוצה {-2, -3, 5} שסכומה הוא אפס. הבעיה קשה למצוא לה פתרון מהיר לכל קלט. לכן משתמשים בכמה שיטות שונות. שיטה פשוטה בודקת את כל תתי־הקבוצות. יש הרבה תתי־קבוצות, ולכן זה ל...
משחק סכום אפס
משחק סכום-אפס הוא משחק שבו מה שאחד מרוויח, השני מפסיד. אם אחד מקבל 5 נקודות, השני מאבד 5 נקודות. משחקים כמו שחמט ודמקה הם דוגמה נכונה. יש זכרון ברור של מנצח ומפסיד. לא תמיד העולם הוא סכום-אפס. במסחר או בשיתוף פעולה, שני הצדדים יכולים להרוויח יחד. אסטרטגיה היא דרך לבחור מה לעשות. אסטרטגיה מעור...
מספרי ברנולי
מספרי ברנולי הם סדרה של מספרים שמצא יאקוב ברנולי. הם עוזרים לחשב סכומים של חזקות בקלות. למשל חישוב של 1^{10}+2^{10}+... עד מספר גדול. כמה ערכים פשוטים: B_0=1, B_1=-1/2, B_2=1/6. רוב האיברים עם אינדקס אי-זוגי שווים לאפס, חוץ מ-B_1. יש נוסחה מיוחדת שמציגה אותם בתוך ביטוי שמשתמש ב-e^x (הפעולה שמגבירה...
אסטרטגיה אופטימלית
אסטרטגיה אופטימלית היא דרך לשחק שנותנת תוצאה בטוחה. משחק סכום אפס הוא משחק שבו מה שאחד מרוויח, השני מפסיד. יש במשחקים כאלה ערך כללי שמראה כמה כל שחקן יכול לצפות לקבל. נניח שיש שני שחקנים. לכל שילוב של בחירות שלהם יש תוצאה שנקראת תשלום. אסטרטגיה היא תוכנית מה לשחק. אסטרטגיה אופטימלית היא כזאת שעבורה...
מי שהיה נשוי שלוש נשים
המשנה נקראת "מי שהיה נשוי (ל)שלוש נשים". היא עוסקת בחלוקת כסף של גבר שנפטר בין שלוש אלמנות. כל אישה מקבלת לפי הכתובה שלה. כתובה היא סכום שהובטח לאישה כשנשאה. המשנה נותנת כמה דוגמאות. כשיש רק 100 דינרים הן מתחלקות שווה. כשיש 300 הדינרים כל אחת מקבלת לפי גודל הכתובה. כשיש 200 יוצאת תוצאה מיוחדת, שבה ...
דרגה (תורת הגרפים)
דרגה של צומת היא כמה קשתות נוגעות בו. כותבים את זה \deg(v). גרף שבו לכל הצמתים יש אותה דרגה קוראים לו k-רגולרי. בגרף בלי כיוונים נספר כמה קשתות נוגעות בצומת. לולאה היא קשת שמחוברת לצומת עצמו. לולאה נספרת פעמיים. בגרף עם כיוונים לכל קשת יש "ראש" ו"זנב". לכן מחשבים שני סוגי דרגות. דרגת הכניסה ...
אריתמטיקה של גבולות
גבול זה הערך שאליו פונקציה מתקרבת. אם לשתי פונקציות יש גבול בנקודה x0, אז: הגבול של סכום הוא סכום הגבולות. הגבול של מכפלה הוא מכפלת הגבולות. אם מכפילים בפונקציה קבועה α, הגבול מוכפל ב-α. הגבול של הפרש הוא הפרש הגבולות. הגבול של מנה שווה למנה של הגבולות רק אם המכנה לא נוטה לאפס. אם פונקציה אחת ג...
פונקציית מחלקים
פונקציית מחלקים עוסקת במחלקים של מספרים. הפונקציה לוקחת מספר וחושבת סכום של כל המחלקים שלו, כאשר אפשר להרים כל מחלקה בחזקה x. אם x=0 היא סופרת כמה מחלקים יש. אם x=1 היא מסכמת את כל המחלקים. מספר ראשוני הוא מספר שיש לו בדיוק שני מחלקים: 1 והמספר עצמו. במקרה כזה סכום המחלקים הוא p+1. כשמפרקים מספר ...
סדרה הנדסית
סדרה הנדסית היא רשימה של מספרים. כל מספר ברשימה מתקבל בהכפלה. המספר הקבוע שמכפיל נקרא מנה הסדרה. מסמינים אותו q. אם a_1 הוא האיבר הראשון, כל איבר הבא שווה ל-q כפול האיבר שלפניו. נוסחה זו כותבת: a_{n+1} = q \cdot a_n. האיבר ה-n מיוצג כך: a_n = a_1 \cdot q^{n-1}. זה אומר שמכפילים את a_1 ב-q, שוב ...
סיגמא
סיגמא (Σ, σ, ς) היא אות יוונית. היא האות ה-18. היא נשמעת כמו האות ס. באותיות יווניות היא שווה לערך המספרי 200. האות באה מהכתב הפיניקי, כתב עתיק. השם שלה נוצר מאות אחרת ששמה סמך. לפני הימים שלנו היו כמה אותיות ששמעם דומה. בהיסטוריה חלק מהן הפכו לאותיות יווניות שונות. חלק מהחוקרים חושבים ששמות האות...
משפט ראו-בלקוול
ראו-בלקוול הוא רעיון שעוזר לשפר אומד. אומד הוא כלל שמחשב מספר מהמדגם כדי לנחש פרמטר לא ידוע. אומד חסר הטיה אומר שהתוצאה הממוצעת שלו שווה לפרמטר הנכון. שונויות קטנה יותר טובה, כי התוצאות פחות משתנות. סטטיסטי הוא מספר שמחושב מהדוגמה, למשל סכום. אם הסטטיסטי מספיק, אז הוא שומר את כל המידע על הפרמטר. ד...
קאקורו
קאקורו (ביפנית: カックロ) הוא חידת מספרים. זה דומה לסודוקו. ממלאים משבצות במספרים מ-1 עד 9. כל קבוצה של משבצות צריכה להגיע לסכום שנכתב לידן. אסור לחזור על אותו מספר בקבוצה. למשל, 3, 3, 2 לא תקין כי 3 חוזר פעמיים. =עובדות המסייעות בפתרון קאקורו= אם צריכים לסכום 14 בשתי משבצות, אי אפשר לשים שם מספר קטן מ-...
אינטגרל
אינטגרל אומר לסכום כמה חלקים קטנים של משהו. אפשר לחשוב עליו כמו חיבור של מלבנים דקים מתחת לעקומה. אינטגרל מסוים מחשב שטח בין העקומה לציר x על קטע בין a ל־b. אם השטח מתחת לציר הוא שלילי, מסמנים אותו בסימן פחות. אינטגרל לא־מסוים הוא כמו המשפחה של כל הפונקציות שהנגזרת שלהן היא הפונקציה הנתונה. פונק...
טור (מתמטיקה)
טור הוא חיבור של הרבה מספרים אחד אחרי השני. לדוגמה, 1+2+3 הוא טור שסכומו 6. טור סופי הוא חיבור של מספר סופי של איברים. כותבים את זה בקיצור בעזרת סימן סכום. בטור טלסקופי חלק מהמספרים מתבטלים. כך קל למצוא את הסכום. לדוגמה, סכום של 1/(n(n+1)) עד n נותן 1-1/(n+1). כשהn גדול מאוד, התוצאה מתקרבת ל־1. ט...
הרחבת העירוב של משחק
במשחקים לפעמים אין פעולה אחת שהיא הכי טובה תמיד. אז שחקנים עשויים להגריל מה יעשו. תכסיס מעורב הוא לבחור באקראי בין פעולות לפי סיכוי. הרחבת העירוב מייצגת משחק שבו כל שחקן יכול להשתמש בהגרלות כאלה. זה חשוב כי יש משחקים שבהם מה שאחד מרוויח השני מפסיד. משחק כזה נקרא משחק סכום אפס. במשפט המינימקס מוצאי...
תכסיס (תורת המשחקים)
תכסיס הוא תוכנית שמלמדת שחקן מה לעשות בכל מצב במשחק. (אסטרטגיה = תכסיס) לדוגמה, באיקס-עגול התכסיס אומר איפה לשים את האיקס בכל תור. בדילמת האסיר יש שתי אפשרויות פשוטות: לבגוד או לשתף פעולה. תכסיס כולל את כל ההחלטות שאדם יכול לעשות בזמן משחק אחד. הוא לא יכול להורות על שתי פעולות שונות באותו מצב. אם...
אינדוקציה מתמטית
אינדוקציה מתמטית היא דרך להוכיח שמשהו נכון עבור כל המספרים הטבעיים. ההוכחה עובדת בשני שלבים פשוטים: 1) בוחנים את המספר הראשון. זה נקרא בסיס האינדוקציה. 2) מראים שאם זה נכון עבור n, אז גם עבור n+1. זה נקרא צעד האינדוקציה. אם שני השלבים נכונים, אז זה נכון לכל המספרים. הרעיון היה בשימוש כבר במאות...
קבוע אוילר-מסקרוני
קבוע אוילר הוא מספר חשוב במתמטיקה. הוא קטן מ־1. הערך שלו קרוב ל־0.5772. לוקחים את הסכום 1 + 1/2 + 1/3 + ... עד מספר גדול מאוד. מוציאים ממנו את ה־ln, שהוא לוגריתם טבעי. ההפרש הזה מתקרב למספר קבוע. המספר הזה נקרא γ. =למה זה מעניין? הקבוע מופיע כשמשווים סכומים של מספרים עם שטחים מתחת לעקומה. הוא עוזר...
ערך של משחק
ערך של משחק אומר מה כל שחקן יכול להשיג. במשחק סכום אפס מה שאחד מרוויח, השני מפסיד. מקס-מין הוא הביטחון הכי גדול לשחקן. הביטחון הזה הוא הכסף שהוא יכול להבטיח לעצמו. מינמקס הוא הביטחון של השחקן השני. זהו הסכום הקטן שהוא יכול לוודא שלא יאבד. יש טבלה שמראה תוצאות לכל אפשרות של שני שחקנים. המינימום בש...
חבורה אבלית חופשית
חבורה אבלית חופשית היא קבוצה של "סכומים" שאפשר לחבר ביניהם. אבלית אומר שהסדר של החיבור לא משנה. חושבים על סמלים. כל איבר הוא סכום של מספרים שלמים כפול סמלים. רק כמה סמלים מופיעים בכל פעם. דוגמה פשוטה: Z היא חבורה כזו עם סמל אחד. בונים אותה כקבוצה של רשימות של מספרים שלמים שיש בהן רק כמה מספרים לא ...
מספר ריבועי
מספר ריבועי הוא מספר שקורעים אותו על ידי הכפלה של מספר בעצמו. למשל 3 כפול 3 שווה 9. מסתכלים על זה גם כארגון של דברים במרובע. אם אפשר לסדר מטבעות בריבוע שלם, יש לנו מספר ריבועי. עוד עובדה חמודה: כל ריבוע הוא סכום של מספרים אי-זוגיים מתחילים. למשל 5^2 = 25 וזה שווה ל־1+3+5+7+9. כמה ריבועים שכולם מ...
מרחב הילברט
מרחב הילברט דומה לחדר שבו יש וקטורים. מכפלה פנימית היא כלי שמחשב אורך וזווית בין וקטורים. המרחב צריך להיות "שלם". שלם פירושו שכל סדרה שמתקרבת למשהו אכן מגיעה לחלק במרחב. מרחבי הילברט חשובים כי הם מאפשרים לעשות גאומטריה גם בממדים רבים מאוד. הם משמשים בנושאים כמו פורייה ומכניקת הקוונטים. זהו מרחב ...
אי-שוויון המשולש
אי-שוויון המשולש אומר: המרחק מ-A ל-C קטן או שווה למרחק מ-A ל-B ועוד מ-B ל-C. כאן מרחק הוא איך שמודדים כמה שתי נקודות רחוקות זו מזו. זה כמו במשולש: צלע אחת תמיד קצרה או שווה לשתי צלעות אחרות יחד. על הקו של המספרים משתמשים בערך מוחלט. ערך מוחלט הוא המרחק של מספר מהאפס. אז |a-c|≤|a-b|+|b-c| לכל a,b,c....
חיבור
חיבור means חיבור של שני מספרים כדי לקבל סכום. הסימן הוא +. למשל 2+3=5. חיבור עובד גם על מספרים שליליים, שברים, מספרים ארוכים, וגם על מספרים עם חלק מדומה. יש דרך פורמלית לבנות מספרים שלמים מזוגות של מספרים טבעיים. חיבור בין זוגות נעשה על ידי חיבור כל הרכיבים. שבר כמו a/b מיוצג בזוג. חיבור שברים נ...
ארבע פעולות החשבון
ארבע פעולות החשבון הן חיבור, חיסור, כפל וחילוק. חיבור אומר שמוסיפים מספרים זה אל זה. סימן החיבור הוא +. תוצאת החיבור נקראת סכום. לוח חיבור מראה סכומים של ספרות. חיסור אומר כמה נשארים אחרי שמורידים חלק. סימן החיסור הוא -. התוצאה נקראת הפרש. חיסור יכול לתת מספר שלילי (מיעוט), לכן משתמשים גם בשלילים....
כתובה
כתובה היא מסמך שניתן בזמן החתונה. זהו נייר שבו הבעל כותב הבטחה כלפי אשתו. ההבטחה היא לעת צרה, אם ייפרדו או אם הבעל ימות. נוסחי הכתובה השתנו בקהילות שונות בעשורים רבים. יש דעות שונות על מקור החובה לכתוב כתובה. יש מי שאומרים שחובת הכתובה היא מהתורה. אחרים אומרים שזה תיקון של חכמים. המטרה הייתה להג...
מספר הרשאד
מספר הרשאד הוא מספר שמתחלק בסכום הספרות שלו. (בסיס ספירה = הדרך לכתוב מספרים, למשל בסיס 10 כמו בכיתות.) דוגמאות פשוטות: 10, 12, 18. יש רק ארבעה מספרים שהם הרשאד בכל שיטה: 1, 2, 4 ו־6. 99 מתחלק ב־9 אבל לא ב־18, ולכן הוא לא הרשאד. מספר ששווה לבסיס נכתב כ־10. הוא תמיד הרשאד כי סכום הספרות שלו הוא 1. ...
Co-NP
co-NP הוא אוסף בעיות שהן ההפך של הבעיות ב־NP. NP הן בעיות שיש להן הוכחה קצרה שאפשר לבדוק מהר. זמן פולינומי הוא זמן חישוב סביר. דוגמה פשוטה: יש קבוצה של מספרים. שואלים אם יש תת־קבוצה שסכומה אפס. אם כן, נותנים את הרשימה ובודקים את הסכום. ההפך שואל האם אין בכלל תת־קבוצה שסכומה אפס. גם לזה יש הוכחה שני...
משפט המינימקס
משפט המינימקס עוסק במשחקים בין שני שחקנים שבהם מה שאחד מרוויח, השני מפסיד. ג'ון פון נוימן הוכיח את המשפט ב-1928. המשפט אומר שיש דרך טובה לשחק שמבטיחה לכל שחקן רווח מסוים. במשחקים כאלה לפעמים צריך לא לבחור רק אפשרות אחת. במקום זאת בוחרים באקראי בין כמה אפשרויות. זוהי אסטרטגיה מעורבת, כלומר הגרלה בין...
סדרה חשבונית
סדרה חשבונית היא רשימה של מספרים. ההפרש בין כל שני מספרים סמוכים קבוע. את ההפרש קוראים d. האיבר ה-1 קוראים לו a1. כדי למצוא את האיבר ה-n, מוסיפים ל-a1 את ההפרש d פעמים (n-1). כלומר: האיבר ה-n הוא a1 ועוד (n-1) כפול d. כדי לחשב את הסכום של n האיברים הראשונים, אפשר להכפיל את מספר האיברים במספר ה...
מטריצת בלוקים אלכסונית
מטריצת בלוקים אלכסונית היא מטריצה עם מטריצות קטנות על האלכסון. את המטריצות הקטנות קוראים בלוקים. כל שאר המקומות מלאים באפסים. אפשר לדמיין מטריצה 4 על 4 עם שני בלוקים 2 על 2 באלכסון. זה אומר שתי מטריצות קטנות בצד של האלכסון. עוד דרך לומר את זה היא לשים מטריצות אחת אחרי השנייה על האלכסון. כך בונים מ...
מיוריזציה
מיוּר (מיוֹריזציה) אומר מתי רשימה של מספרים אחת "גדולה" מהשנייה בדרך מיוחדת. קודם מסדרים כל רשימה מהמספר הגדול לקטן. אז בודקים שני דברים: שתי הרשימות נותנות את אותו סכום בכל המספרים. וגם, עבור כל k, סכום ה-k מספרים הראשונים ברשימה הראשונה גדול או שווה לסכום ה-k מספרים הראשונים בשנייה. אפשר להבין א...
משפטי שנירלמן
משפטי שנירלמן בוחנים כמה מספרים מקבוצה מופיעים בין 1 ל־n. את זה קוראים צפיפות שנירלמן. אם יש הרבה מספרים בשתי קבוצות, החיבור שלהן מכסה מספרים רבים. 1) הצפיפות של A+B גדולה לפחות כמו סכום הצפיפויות של A ו־B פחות המכפלה שלהן. 2) אם ביחד יש יותר מ־n−1 איברים עד n אז המספר n ניתן לכתיבה כסכום של איבר מ...
נוסחאות ויאטה
נוסחאות ויאטה מחברות בין המקדמים של פולינום לבין השורשים שלו. שורש הוא מספר שהופך את הפולינום לאפס. לדוגמה, למשוואה ריבועית ax^2+bx+c יש שני שורשים x1 ו-x2. מתקיים x1+x2=-b/a. וגם x1*x2=c/a. זה אומר שהסכום והמכפלה של השורשים קשורים ישירות למספרים a, b, c. גם למטריצות יש "שורשים" שנקראים ערכים עצמי...
מס גולגולת
מס גולגולת הוא מס שכל אדם חייב לשלם אותו סכום. (מס בסכום קבוע, כלומר לא משנה כמה כל אחד מרוויח). בתנ"ך הוטל תשלום של חצי שקל על כל מי שהיה בן עשרים ומעלה. התשלום לא היה תלוי בהכנסה. באנגליה בימי הביניים הוטלו מיסים קטנים על כל אדם. ב-1381 המס הכבד גרם למרד איכרים. באימפריה העות'מאנית היה מס שנק...
מספר משוכלל
מספר משוכלל הוא מספר ששווה לסכום כל המספרים שמחלקים אותו חוץ ממנו עצמו. דוגמאות ידועות הן 6, 28 ו-496. היוונים הקדמונים ידעו על מספרים כאלה. אוקלידס מצא דרך לבנות חלק מהם. הוא אמר: אם 2^n-1 הוא מספר ראשוני, אז 2^{n-1}(2^n-1) הוא משוכלל. "ראשוני" זה מספר שמתחלק רק ב-1 ובעצמו. מאוחר יותר קראו למספ...
תורת השדות הקוונטית
תורת השדות הקוונטית אומרת ששדות הם הבסיס לטבע. שדה הוא משהו שממלא מקום וזמן. חלקיקים הם "גלים קטנים" בשדה. שדות מסבירים חלקיקים וכוחות. חלק מהשדות עושים חומר. חלק אחרים עושים כוחות. חלקיק לא הולך דרך מסלול אחד בלבד. יש לו הרבה מסלולים אפשריים. צריך לסכם את כל המסלולים כדי לדעת מה יקרה. אלקטרון מו...
קבוע ברון
קבוע ברון הוא מספר שמתקבל מחיבור של מספרים מיוחדים. המחברים הם ההופכיים של ראשוניים תאומים. ראשוניים הם מספרים שחסרי מחלקים חוץ מ-1 ובעצמם. ראשוניים תאומים הם זוגות שהם בני 2 זה מזה, למשל (3,5) ו-(11,13). בשנת 1919 הוכיח וויגו ברון שהחיבור הזה נותן מספר סופי. זה נקרא שהטור מתכנס. העובדה שהחיבור סופ...
מספר משולשי
מספר משולשי הוא מספר שאפשר לסדר אותו בצורת משולש. לדוגמה: 1, 3, 6, 10, 15. אם לצד של המשולש יש n עצמים, המספר הוא 1+2+…+n. יש נוסחה קלה לזכור: T_n = n·(n+1)/2. היא אומרת איך לחשב את המספר בלי לספור כל שורה. נוסחה זו מגיעה מהחיבור 1+2+…+n. גאוס ילד חשב כך עבור 1 עד 100: הוא צימד את המספרים 1+100, 2...
אקסיומת המקבילים
אוקלידס, מתמטיקאי מן העת העתיקה, כתב כלל חשוב בגאומטריה. אקסיומה היא כלל בסיסי שלא הוכיחו. אקסיומת המקבילים אומרת בקיצור: דרך נקודה שמחוץ לקו אפשר לעבור רק קו אחד שמקביל לקו ההוא. אוקלידס בנה את הגאומטריה מתוך כמה הנחות פשוטות. הארבע הראשונות קצרות. החמישית ארוכה ומיוחדת. לכן היא זכתה לשם מיוחד. ...
כוח שקול
כוח שקול הוא החץ שמייצג את כל הכוחות יחד. חץ כזה מראה כיוון וכמה החזק הכוח. אם שני כוחות עובדים נגד זה, צריך לחבר אותם. למשל: 20 ניוטון ימינה ו‑30 ניוטון שמאלה נותנים תוצאה שמאלה. ניוטון הוא יחידת כוח. אם הכוחות שווים, הגוף נשאר כפי שהוא. אם הכוחות לא שווים, הגוף ימהר או יאט. מהירות משתנה זו נקראת...
מצולע
מצולע הוא צורה שטוחה שעשויה מצלעות ישרות. צלע = קו שבין שני נקודות. קודקוד = הנקודה שבה שתי צלעות נפגשות. זווית = פינה שנוצרת בין שתי צלעות. מצולעים נקראים לפי מספר הצלעות. למשל: משולש (3), ריבוע (4), מחומש (5), משושה (6). בסיסי: בכל משולש סכום הזוויות שווה ל-180 מעלות. בכל מצולע מוסיפים 180 מעלות...
מבחני התכנסות לטורים
טור אינסופי הוא סכום של הרבה מאוד מספרים. לעתים אין סוף ואנחנו רוצים לדעת אם הסכום מגיע למספר קבוע בסוף. אם האיברים של הטור לא שואפים לאפס אז הטור לא יתכנס. אם כל האיברים חיוביים, הסכום רק גדל. אם הוא לא מפסיק לגדול, הטור מתבדר. משווים טור לטור ידוע. אם הטור הידוע מתכנס והאיברים של הטור הנבדק...
מעגל דמים
״מעגל דמים״ הוא מצב שבו פגיעה אחת גוררת פגיעה חזרה. זה יוצר מעגל שקשה להפסיק. יש שני דברים שגורמים למעגל דמים. הראשון: אף אחד מהצדדים לא יכול לנצח או לסיים את המאבק בקלות. השני: אף אחד לא מצליח להיפרד מהמריבה, או חושב שהצד השני חלש. במצב כזה כל צד עונה בפגיעה על הפגיעה שקיבל. כך העימות דווקא מחמיר...