מכפלה קרטזית

מכפלה קרטזית היא פעולה על שתי קבוצות שיוצרת קבוצה חדשה. האיברים בקבוצה החדשה הם זוגות סדורים (זוגות שבהם הסדר חשוב). בכל זוג, האיבר הראשון שייך לקבוצה הראשונה והאיבר השני שייך לקבוצה השנייה. סמל נפוץ למכפלה קרטזית הוא ×.

מכפלה זו נקראת על שם רנה דקארט, שהשתמש בזוגות סדורים כדי להגדיר את המישור האוקלידי ולהיזון את הגאומטריה האנליטית.

אם X היא קבוצת דירוגי הקלפים {A,K,Q,J,10,…,2} ו‑Y היא קבוצת הסוגים {♠,♥,♦,♣}, אז X×Y הוא סט כל הקלפים המוכר, 52 זוגות של (דירוג, סוג).

ניתן להכפיל גם יותר משתי קבוצות. המכפלה של n קבוצות נותנת קבוצה של n-יות סדורות (x1,x2,…,xn), כאשר כל xi שייך לקבוצה ה‑i. בצורה פורמלית יותר, עבור משפחה של קבוצות מסומנת על ידי אינדקסים Λ, המכפלה היא קבוצת כל הפונקציות f שממפות כל אינדקס ליותר־איבר המתאים מתוך האיחוד של הקבוצות, כך ש‑f(n) שייך ל‑X_n.

מבחינה אינטואיטיבית, כל פונקציה כזו מייצגת "נקודה" במרחב של הבחירות, בערכים שלה נמצאות הקואורדינטות. אקסיומת הבחירה אומרת שאם לכל אינדקס יש קבוצה לא ריקה, אזי אפשר לבחור איבר מכל אחת והמכפלה הכוללת לא תהיה ריקה.

וקטור במרחב רגיל הוא דוגמה: הווקטור (x1,x2,…,xn) הוא פשוט n-יה סדורה, ולכן פונקציה שממפה k ל‑x_k. אם אחת מהקבוצות ריקה, למשל A={1,2} ו‑B=∅, אז A×B ו‑B×A שוות ל־∅, אין אפשרות ליצור זוג כאשר קבוצה אחת ריקה.

מכפלה קרטזית יוצרת קבוצה של זוגות. בכל זוג, האיבר הראשון מגיע מקבוצה אחת.
האיבר השני מגיע מקבוצה שנייה. זוג כזה נקרא "זוג סדור" כי הסדר חשוב.

אם יש 13 דירוגים של קלפים ו‑4 סוגים (♠,♥,♦,♣), אז כל צירוף של דירוג וסוג יוצר קלף. כל הצירופים יחד הם 52 קלפים.

אם יש כמה קבוצות, ממש כמו רשימה של תיבות, כל איבר במכפלה הוא רשימה של בחירות (x1,x2,…,xn). כל x_i נבחר מתוך הקופסה ה‑i.
לפעמים צריך כלל מיוחד בשם "אקסיומת הבחירה" כדי להבטיח שאפשר לבחור פריט מכל קבוצה.

וקטור הוא פשוט רשימה של מספרים כמו (x1,x2,…,xn). אם אחת הקבוצות ריקה, אז אי אפשר ליצור זוגים והמכפלה היא ריקה.