ממד (אלגברה ליניארית)

יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F. "בסיס" הוא קבוצה של וקטורים שממנה אפשר לבנות את כל הווקטורים במרחב. אם לבסיס יש n איברים, מספר זה נקרא ה'ממד' של V ומסומן dim(V). כאשר רוצים להדגיש את שדה הבסיס, כותבים dim_F(V). (שדה הוא מערכת מספרים שמאפשרת חיבור וכפל.)

הממד מקשר לאינטואיציה הגיאומטרית: קו הוא ממד-1, מישור ממד-2, ומרחב עם אורך, רוחב וגובה הוא ממד-3. הממד יכול להיות אפס, מספר טבעי חיובי, או אפילו אינסופי. המושג מתפתח וניתן להכללה בתחומים שונים במתמטיקה.

אם מרחב ניתן לפרישה על ידי קבוצה סופית, הממד מעל שדה נתון מאפיין אותו באופן מלא.

משפט הממדים: עבור שני תת-מרחבים U ו-U' מתקיים: הממד של סכום התת-מרחבים שווה לסכום הממדים שלהם פחות הממד של החיתוך.

בנוגע להרחבות שדה: אם V מרחב מעל שדה K ו-K מרחב מעל תת-שדה F, אז הממדים קשורים דרך מכפלה של המידות של ההרחבות. הנוסחה הזו שימושית ותורמת לפתירה של שאלות קלאסיות, למשל להסביר מדוע אי אפשר לבנות בגיאומטריה כמה מספרים וזוויות מסוימים (כמו השורש השלישי של 2, זווית של 20 מעלות או השורש השביעי של היחידה) בעזרת פעולות הוצאת שורש ריבועי בלבד.

הממד הוא המספר של האיברים בבסיס. בסיס הוא קבוצה שממנה בונים את כל הווקטורים.

בדוגמה ידועה, קו הוא ממד-1. מישור הוא ממד-2. החלל עם אורך, רוחב וגובה הוא ממד-3. ממד יכול להיות אפס או אפילו אינסוף.

אם יש שתי קבוצות שמרכיבות חלקים מהמרחב, ה"חלק המשותף" מוריד ממספר הכולל. כלומר, כשמחברים שתי קבוצות, סופרים גם מה שחוזר על עצמו.

כללים אלה עוזרים להבין בעיות ישנות. למשל, הם מסבירים למה אי אפשר לקבל כמה מספרים או זוויות מסוימות רק על ידי הוצאת שורשים.