מספר מוצקין

בקומבינטוריקה, מספר מוצקין של n הוא מספר הדרכים לחבר n נקודות על היקף מעגל במיתרים שלא חוצים אחד את השני. מיתרים שלא חוצים פירושם שהקווים המחברים לא חותכים זה את זה בתוך המעגל. המספרים נקראים על שמו של המתמטיקאי תאודור מוצקין.

הערכים הראשונים כוללים בין היתר: 1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835. למשל, יש 9 דרכים לחבר 4 נקודות בלי חצייה, ו־21 דרכים עבור 5 נקודות.

יש כמה דרכים שקולות להגדיר את המספרים האלה. אפשר לחשוב על סדרות של מספרים חיוביים שאורכן n-1, שמתחילות ומסתיימות ב‑1 או ב‑2, וההפרש בין שני איברים סמוכים הוא רק 0, 1 או −1. אפשרות נוספת היא תיאור דרך רשת: במסלולים ברביע הימני העליון מהנקודה (0,0) לנקודה (n,0) מותר בכל צעד ללכת רק ימינה, ימינה ולמעלה או ימינה ולמטה, ולשמור שלא לרדת מתחת לציר ה‑x.

בשנת 1977 הציגו דונהיי ושפירו כ־14 הגדרות שונות למספרי מוצקין בתחומי מתמטיקה שונים. ההגדרות השונות מדגימות את הקשרים בין קומבינטוריקה, סדרות ושל מסלולי רשת.

מספר מוצקין מראה כמה דרכים יש לחבר נקודות על מעגל בלי שהקווים יחתכו זה את זה. מיתרים כאן הם קווים קצרים שמחברים בין נקודות על ההיקף.

דוגמה קצרה: הסדרה הראשונה היא 1, 1, 2, 4, 9, 21. יש 9 דרכים לחבר 4 נקודות בלי חצייה. יש 21 דרכים לחבר 5 נקודות.

עוד דרך לראות את זה היא כדרכים על רשת. מתחילים ב‑(0,0) ומסיימים ב‑(n,0). בכל צעד אפשר ללכת רק ימינה, ימינה ולמעלה או ימינה ולמטה. אסור לרדת מתחת לקו האופקי.

השם נולד על שם המתמטיקאי תאודור מוצקין.