מספר נורמלי

מספר נורמלי הוא מספר ממשי שהספרות שלו מתנהגות כאילו הוגרלו באקראי.
זה בעיקר נוגע לספרות שמימין לנקודה העשרונית.
אם לכל ספרה או לכל רצף ספרות יש הסתברות שווה להופיע, זה נורמלי.

יהי b שלם גדול מ-1 (זהו "בסיס" או מערכת ספרות, כמו הבסיס העשרוני).
יהי x מספר ממשי. לכל רצף סופי של ספרות s נסמן ב-N_n(s,x)
את מספר הפעמים שהרצף s מופיע ב-n הספרות הראשונות אחרי הנקודה.
נסמן ב-||s|| את אורך הרצף s.
אומרים ש- x נורמלי ביחס לבסיס b אם, לכל רצף s,
התדירות N_n(s,x)/n מתקרבת ל-b^{-||s||} כאשר n גדל.
אם מספר נורמלי ביחס לכל בסיס אפשרי, קוראים לו מספר נורמלי פשוט.
ניתן גם לבנות מספר על ידי בחירת ספרות אקראיות, בלתי תלויות ושוות הסתברות.
ברוב המקרים כאלה (בהסתברות 1) מקבלים מספר נורמלי.
זה מראה שנורמליות היא התכונה של מספרים "חסרי תכונות מיוחדות".

אמיל בורל טבע את המושג ב-1909 והראה, בעזרת כלים סטטיסטיים,\שכמעט כל המספרים הממשיים הם נורמליים.
המשמעות היא שמדידת לבג של קבוצת המספרים הלא-נורמליים היא אפס.
מספרים רציונליים אינם נורמליים. הפיתוח שלהם בבסיס כלשהו הוא תמיד סופי או מחזורי.
קבוצת המספרים שאינם נורמליים בבסיס נתון היא גדולה במובן הקרדינלי (מעוצמת הרצף).
למשל היא כוללת מספרים שהספרות שלהם מורכבות מהרצפים 01 ו-10 בלבד.
יש השערות חשובות שלא הוכחו: משערים שכל מספר אלגברי שאינו רציונלי הוא נורמלי.
אין עדיין דוגמה ידועה למספר אלגברי שנוכחית כנורמלי.
מניחים גם ש-e ופאי הם נורמיים, אך לא יודעים אפילו אם כל ספרה מופיעה בפיתוח העשרוני של פאי אינסוף פעמים.
דוגמה בולטת של מספר שנבנה באופן מחושב היא קבוע צ'אמפרנאוונה 0.123456789101112...
מספר זה נורמלי בבסיס 10.

מספר נורמלי הוא מספר שהספרות שלו נראות אקראיות.
מדברים בעיקר על הספרות אחרי הנקודה העשרונית.
אם כל רצף ספרות מופיע בערך באותה תדירות, זה נורמלי.

בסיס הוא מערכת כתיבה של מספרים, כמו עשרוני.
לוקחים רצף ספרות קצר ומחשבים כמה פעמים הוא מופיע בחלק השמאלי.
אם ככל שנבדוק יותר ספרות התדירות מתייצבת, זה סימן לנורמליות.
אם זה נכון בכל בסיס, קוראים למספר פשוט נורמלי.
אם בוחרים ספרות באקראי, בדרך כלל נקבל מספר נורמלי.

המתמטיקאי אמיל בורל הראה ב-1909 שכמעט כל המספרים הם נורמליים.
זה אומר שרק מעטים אינם נורמליים.
מספרים רציונליים (כמו שברים פשוטים) אינם נורמליים.
חוקרים משערים שמספרים כמו e ופאי הם נורמליים.
אבל זה עדיין לא הוכח, ואנחנו לא יודעים אם כל ספרה מופיעה בפאי ללא סוף.
דוגמה ידועה: 0.123456789101112... הוא נורמלי בבסיס 10.