מרחב כיסוי

במתמטיקה, ובמיוחד בטופולוגיה, מרחב כיסוי הוא מרחב טופולוגי C שמכסה מרחב X דרך העתקת כיסוי p:C→X. מרחב טופולוגי הוא קבוצה עם רעיון של סמיכות. העתקת כיסוי היא מפה שמ locally היא הומיאומורפיזם, כלומר כל נקודה ב-X מקבלת סביבה U כך שהעותק ההפוך p^{-1}(U) מתפרק ל"יריעות" (חלקים פתוחים ב-C) שכל אחת מהן דומה ל-U באמצעות p.

מרחב כיסוי מוגדר על ידי פונקציה רציפה p כך שלכל x ב-X יש סביבה פתוחה U עם p^{-1}(U)=⋃α Uα, כאשר לכל α המפה המוגבלת ל-Uα היא הומיאומורפיזם על U. את ה-U קוראים סביבות מכוסות באופן אחיד, ואת ה-Uα קוראים יריעות מעל U. אפשר לדמיין את C כ"מרחף" מעל X: לכל נקודה ב-X יש מקורות מקבילים ב-C.

מרחבי כיסוי הם כלי בסיסי בטופולוגיה אלגברית. הם מזכירים במובן מסוים התאמה כמו בהתאמת גלואה בין שדות. הקשר המרכזי הוא לחבורה היסודית, קבוצת מעגלים (לולאות) במרחב עד התאמה הומוטופית.

משפט ההרמה קובע מתי ניתן להרים מסילות או מפות מ-X אל C כך שההרמה משחזרת אותן דרך p. בפרט, אם X פשוט-הקשר (כל לולאה מתפרקת), אז קיימת התאמה ברורה בין נקודות ב-p^{-1}({c}) לבין האלמנטים של החבורה היסודית של C בנקודה c. משמעותית: הרמות מקשרות בין מסילות במרחב הבסיס לבין נקודות בכיסוי.

אם X ו-C קשירים ומקומית מסילתיים (כל נקודה בעלת סביבה קומפקטית מתאימה), אז p_*:π1(X)→π1(C) הוא הטלה חד-חד-ערכית (מונומורפיזם). לכן תמונות של חבורות יסוד של כיסויים הן תתי-חבורות של π1(C).
יותר מכך, יש התאמה מלאה: לכל תת-חבורה H של π1(C) מתאים מרחב כיסוי יחיד עד איזומורפיזם, כך ש-p_*(π1(X))=H.

המרחב שמתאים לתת-החבורה הטריוויאלית הוא מרחב כיסוי אוניברסלי. זהו מרחב פשוט-הקשר שמכסה את C. הוא ייחודי עד איזומורפיזם ויש לו תכונה אוניברסלית: כל כיסוי של C נובע ממנו. קיומו אינו מובטח תמיד; הוא קיים למשל אם המרחב קשיר ומקומית פשוט-הקשר.

בהינתן כיסוי p:(X,x)→(C,c) ומפה רציפה f:(A,a)→(C,c), קיימת הרמה \hat{f}:(A,a)→(X,x) עם p∘\hat{f}=f אם ורק אם תמונת החבורה היסודית של A תחת f שייכת לתמונה p_*(π1(X,x)). בפרט, אם A פשוט-הקשר, תמיד קיימת הרמה.

את המשפטים על הרמות אפשר להשתמש באנליזה מרוכבת כדי להבין מתי קיימים לוגריתם אנליטי או שורש n-י של פונקציה הולומורפית f שאין לה ערך 0. קיום לוגריתם אנליטי שווה לכך שכל לולאה בתחום לא נותנת סיבוב סביב האפס (אינדקס הסיבוב, או "winding number", שווה אפס). עבור שורש n-י התנאי הוא שהאינדקסים כולם שייכים ל-n פעמים המספרים השלמים.
נוסף, בדרך כלל מספיק לבדוק את התנאים על מכריעים (יוצרים) של חבורת הלולאות.

משפט נילסן-שרייר: תת-חבורה של חבורה חופשית בעלת n יוצרים היא חופשית. ההוכחה משתמש בכיסויים של גרפים: הכיסוי של גרף הוא גרף, ולכן חבורת הבסיס נשארת חופשית. אם האינדקס סופי k, מתקבל נוסח מפורש למספר היוצרים של תת-החבורה.

בדוגמה חישובית ניתן לבדוק אינדקסים על לולאות מעגליות ולסכם אם מתקיים התנאי לשורש או ללוגריתם. למשל חישוב אינדקס מסוים הראה שהפונקציה אינה בעלת לוגריתם אנליטי בתחום הנבחר.

מרחב כיסוי הוא מרחב C שמונח מעל מרחב X עם מפה p שמחברת ביניהם. כל נקודה ב-X יש לה כמה "עותקים" ב-C. את החלקים של C שמדומים לחלק מסוים של X קוראים יריעות.

לכל נקודה ב-X יש סביבה קטנה U כך שהעותק של U ב-C מתפצל ליריעות פתוחות. כל יריעה נראית בדיוק כמו U דרך המפה p.

מרחבי כיסוי עוזרים להבין איך לולאות במרחב מתנהגות. לחבורה של לולאות יש קשר חזק לכיסויים.

מדי פעם רוצים להרים מפה מ-X ל-C, כלומר למצוא מפה שממלאת את ההתאמה עם p. יש חוק (משפט ההרמה) שאומר מתי זה אפשרי. אם המקום שממנו רואים לולאות הוא פשוט (כל לולאה ניתנת לפירוק), ההרמה תמיד קיימת.

יש כיסוי מיוחד שנקרא כיסוי אוניברסלי. הוא פשוט-הקשר, כלומר אין בו לולאות אמיתיות. הוא מכסה את כל הכיסויים האחרים.

באנליזה, משתמשים בכיסויים כדי לדעת אם לפונקציה יש לוגריתם (פונקציה שמוחזרת לוג) או שורש. זה קורה כשפונקציית המטרה אינה עושה סיבובים סביב האפס. אם המפה לא מסובבת, אפשר להרים לוגריתם או שורש.

לדוגמה, תת-חבורה של חבורה חופשית עדיין חופשית. זה מתקבל כי כיסוי של גרף נשאר גרף, וגרף תמיד נותן חבורה חופשית.