משוואת הגלים היא משוואה דיפרנציאלית חלקית מסדר שני. כלומר היא משוואה שמקשרת בין נגזרות של פונקציה לפי זמן ולפי מרחב. המשוואה מתארת איך הפרעות שמתפשטות במרחב משתנות עם הזמן, במילים אחרות, איך גלים נעים.
המשוואה היא הדוגמה הבסיסית למשוואה דיפרנציאלית היפרבולית. היא מתארת גלים אידיאליים שאין בהם איבוד אנרגיה ויחס הפיזור שלהם ליניארי. דוגמאות לכך הן גלים אלקטרומגנטיים בריק ותנודות של מיתר מתוח. גלי קול או גלי מים לעתים דורשים משוואות מורכבות יותר.
במקרה של מיתר או חבל שניתן לתאר על קו אחד (ממד אחד), המשוואה מקשרת בין השינוי בזמן לשינוי במרחב. הפתרון הכללי שנמצא על ידי ז'אן לה רון ד'אלמבר (d'Alembert) הוא סכום של שני גלים נעים: אחד שנכנס לאותו כיוון ואחד שנע בכיוון ההפוך. כלומר כל צורה שמתקדמת בלי להשתנות מקיימת את המשוואה.
ניתן לייצג פתרונות מחזוריים כגלים בסיסיים עם תדירות ומספר גל. עבור גלים לא אידיאליים מוסיפים תיקונים שמייצגים חיכוך או כוחות חיצוניים.
משוואת הגלים מופיעה בטבע בפיזיקה ובהנדסה. בדרך כלל היא נובעת מחחוקי תנועה בסיסיים בצורת קירובים. אם הקירובים נכונים, המשוואה מתארת את התופעה היטב; אם לא, יש צורך במשוואות מתוחכמות יותר.
במיתר מחברים בין כוחות המתיחות והמאסה של חתיכת חבל לפי חוק ניוטון. כשזוויות ההטיה קטנות, חיבור הכוחות מוביל למשוואת גל פשוטה שבה מהירות הגל תלויה במתיחות החבל ובצפיפת המסה שלו.
באלקטרומגנטיות משתמשים במשוואות מקסוול. בהיעדר מטענים וזרמים הן מובילות, אחרי הפעלה של אופרטורים מתמטיים, למשוואות גל עבור שדה החשמל ושדה המגנטי. מהירות הגלים כאן שווה למהירות האור, והיא קשורה לקבועים הפיזיקליים של הריק.
כל פונקציה שמישמרת את צורתה ונעה במהירות קבועה מקיימת את משוואת הגלים. לכן סכום של שני גלים נעים ימינה ושמאלה גם הוא פתרון. זוהי תכונה של לינאריות המשוואה.
בממד התלת־ממדי פתרונות בסיסיים נקראים גלים מישוריים. הם מתוארים על ידי פאזורים (ייצוג מתמטי חוסך חזרות), ויש לכל תדירות שתי דרגות חופש המייצגות עוצמה ופאזה.
בהינתן תנאי התחלה על קו אינסופי, נוסחת ד'אלמבר נותנת ביטוי מפורש לפתרון. היא כוללת את שני החלקים שזזים שמאלה וימינה, ואת תרומת מקור חיצוני במקרה אי־הומוגני.
במגרש סופי צריך להוסיף תנאי שפה בקצוות. שיטת הפרדת המשתנים מניחה שהפתרון הוא מכפלה של פונקציה של המיקום ופונקציה של הזמן. כך מקבלים סדרת פתרונות פרטיים (אופני תנודה) בעזרת בעיית ערכים עצמיים. סכום של האופנים האלה יכול לתאר כל תנודה.
בתזת התוף (דו־ממד) מתקבלת משוואת גל דו־ממדית. פתרונות עם תנאי שפה הומוגניים דומים לדוגמה החד־ממדית, אך הפונקציות העצמיות תלויות בסימטריה של התוף.
במקרה מלבני מתקבלות פונקציות סינוס בכל כיוון, ומהירות התדרים נקבעת על ידי צירופים של שני המספרים הנקראים מצבים (m,n). הפתרון הכללי הוא סכום כפול של אופנים עם מקדמים שנקבעים מתנאי ההתחלה.
בתוף מעגלי הפתרונות המרחביים הם פונקציות מסוג בסל (Bessel). אלה מופיעות כשחישוב מתייחס לסימטריה עגולה.
משוואת הגלים היא חוק מתמטי שמתאר איך גלים מתפשטים בזמן ובמרחב. גל הוא הפרעה שמתחילה במקום ונעה הלאה.
כאשר יש חבל או מיתר, כל חתיכה זזה בגלל המתיחות והמסה. אם הזוויות קטנות, זה מוביל לחוק שאומר שהגל נע בקצב שקבוע לפי מתיחות החבל והמסה שלו.
החוק הכללי שמצא לז'אן לה רון ד'אלמבר אומר שכל צורה שזזה בלי להשתנות היא פתרון. אפשר לפרק כל תנועה לשני גלים, אחד הולך שמאלה ואחד הולך ימינה.
גם חשמל ומגנטיות יכולים ליצור גלים. אם אין מטענים או זרמים, משוואות מאקסוול (חוקים של שדות חשמליים ומגנטיים) נותנות משוואת גל. מהירות הגלים שם היא מהירות האור.
במיכל קטן או מיתר קשור לקירות, יש גלים שעומדים במקום. אלה נקראים אופני תנודה. אפשר לכתוב כל תנועה כסכום של אופנים כאלה. בתוף המעגלי משתמשים בפונקציות מיוחדות שנקראות פונקציות בסל (הן עוזרות לתאר צורות מעגליות).
משוואת הגלים מסבירה גלים בחבלים, בתופים ובשדות חשמליים. היא משתמשת ברעיונות של תנועה, מתיחות ומסה, ותוצאותיה נותנות פתרונות כמו גלים נעים ואופני תנודה.
תגובות גולשים