משפט הדגימה של נייקוויסט-שאנון

משפט הדגימה של נייקוויסט, שאנון מתאר מתי ניתן להמיר אות רציף לאות בדיד בלי לאבד מידע. דגימה היא מדידת הערך של האות בנקודות זמן נפרדות. כדי לשמור על המידע, יש לדגום בקצב שמשתווה לפחות פי שניים לתדירות הגבוהה ביותר שבאות. תדירות זו נקראת תדר נייקוויסט.

אם האות מכיל תדרים עד B, יש לבחור קצב דגימה fs כך ש־fs > 2B. המרווח בין הדגימות הוא T = 1/fs. אם דוגמים בקצב נמוך מדי, השכפולים של הספקטרום בחלל התדרים יחפפו, ובשחזור תתרחש התחזות (aliasing). התחזות פירושה שתדרים שונים ייתפסו כנקודת תדר אחת, והתוצאה תהיה עיוות של האות.

המטרה של ההסבר המתמטי היא להראות שבעזרת תמרת פורייה (המרה שמציגה את האות לפי תדרים) אפשר לראות את שכפול הספקטרום שנוצר בדגימה. כאשר משאירים רק הספקטרום הבסיסי אפשר לשחזר את האות אם לא היה חפיפה.

עבור אות רציף חסום פס x(t) עם ספקטרום X(f) שאינו קיים עבור |f|>B, נקבל שחזור ללא איבוד אם נבחר fs>2B. הפרק הזמן בין הדגימות הוא T=1/fs.

דגימה היא שלב מרכזי בעיבוד אותות דיגיטלי. אותות אנלוגיים כמו דיבור או אותות EEG מומרים לסדרות מספרים על ידי דגימה. הבנה של משפט הדגימה חשובה בתקשורת ובמערכות שמע, כדי להבטיח ששחזור האות יהיה אמין ולמנוע קיפול תדרים שלא נרצה.

משפט הדגימה של נייקוויסט־שאנון אומר איך להמיר אות רציף לאות מספרי מבלי להפסיד מידע. דגימה היא מדידת האות בנקודות זמן קבועות. אם רוצים לשחזר את האות בלי שגיאות, צריך למדוד אותו לפחות פעמיים בכל מחזור של התנועה המהירה ביותר שבו הוא משתנה. התנועה המהירה ביותר נקראת תדר.

אם מדגמים פחות מפעמיים לכל מחזור, יקרה "קיפול" של תדרים. קיפול (aliasing) אומר שצלילים או תנועות שונים ייראו כאילו הם אותו דבר. זה יגרום לשחזור לא נכון של האות.

נושא מתמטי חשוב הוא שהפרק זמן בין שתי מדידות הוא ההפך מקצב המדידות. מדידות מהירות יותר נותנות פרק זמן קטן יותר.

ממירי קול במיקרופונים ובטלפונים דוגמים אותות כדי שהמחשב יעבד אותם. דוגמה נוספת היא בדיקות EEG שמודדות אותות מהמוח. דגימה נכונה מוודאת שלא נאבד מידע חשוב.