משפט התיכון

בגאומטריית המישור משפט התיכון (משפט אפולוניוס) אומר שאם במשולש ABC הנקודה D היא אמצע BC (אמצע = נקודה שמחלקת קטע לשני חלקים שווים), אז:
AB^2 + AC^2 = 2 AD^2 + BC^2/2
זהו מקרה פרטי של משפט סטיוארט: כאשר D מחלקת BC ביחס 1:1, מקבלים את נוסחת התיכון.

נסמן ב-p את ההיטל של AB על BC (היטל = המרחק האנכי או המקביל שמקבלים כאשר מקרינים נקודה על קו). לפי חוק הקוסינוסים נקבל:
AB^2 + BC^2 - AC^2 = 2 p · BC
במשולש ABD, שוב לפי חוק הקוסינוסים: AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 p · BD.
נחליף BD = BC/2 ונקבל ביטוי ל-AD^2 שכולל את p·BC. נציב את הביטוי ממה שמתקבל מהקוסינוסים ונקבל לאחר פירוק אגפים:
2 AD^2 + BC^2/2 = AB^2 + AC^2,
כפי שרצינו להראות.

נסמן AB = a, AC = b, BC = c, ו-AD = x. אם a = b (משולש שווה-שוקיים), התוצאה נבחנת מיד באמצעות משפט פיתגורס.
אם a \u2260 b, מחשבים את שטחי המשולשים ABD ו-ACD בעזרת נוסחת הרון (נוסחה לחישוב שטח משולש מהאורכים של שלושת הצלעות). משווים את השטחים כי התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח. השוויון מביא למשוואה שמובילה ל-2 x^2 = a^2 + b^2 - c^2/2.
מכאן מקבלים שוב AB^2 + AC^2 = 2 AD^2 + BC^2/2.

בתוך משולש, תיכון הוא קו מהקודקוד לאמצע הצלע מולו.
אם D הוא אמצע הצלע BC, אז מתקיים:
AB^2 + AC^2 = 2 AD^2 + BC^2/2
זה אומר: סכום ריבועי שתי השוקיים שווה לפעמיים ריבוע התיכון ועוד חצי מריבוע הבסיס.

אם שתי הצלעות השוות (a = b), אפשר להשתמש במשפט פיתגורס (חוק על ריבועי צלעות בימין-זווית) ולקבל את הנוסחה מיד.
אפשר גם להוכיח זאת דרך חישוב שטחים. משתמשים בנוסחת הרון (נוסחה שמוצאת שטח מהאורכים) ומשווים את שטחי שני המשולשים שיצר התיכון. השוויון נותן את הנוסחה שלמעלה.