משפט לגראנז' (תורת החבורות)

משפט לגראנז' קובע: אם G חבורה סופית ו-H תת-חבורה שלה, אז סדר H מחלק את סדר G. חבורה היא קבוצה עם פעולה שמחברת בין איברים, ותת-חבורה היא קבוצה של איברים מאותה חבורה שסגורה לאותה פעולה.

משמעות מיידית: סדר כל איבר (מספר הפעמים שמרבים את האיבר בעצמו עד לקבלת היחידה) מחלק את סדר החבורה. לכן לכל g
ey|G|=e. עובדה זו מובילה גם להוכחה קצרה של משפט אוילר.

אם G אבולית (כלומר הפעולה בה מתבצעת בסדר לא משנה), אז יש תת-חבורה מכל מספר שמחלק את |G|. זה לא נכון בכל חבורה כללית: הדוגמה הקטנה ביותר היא קבוצת התמורות הזוגיות A_4, שסדרה 12 ואין בה תת-חבורה מסדר 6.


נבחין במחלקות השמאליות של H, שהן הקבוצות מהצורה aH. ראשית, הקבוצות האלה יוצרות חלוקה של G: שתי מחלקות או שוות או זרות. אם aH ו-bH חופפות, הן שוות.

שנית, לכל מחלקה aH יש בדיוק |H| איברים. את זה מראים על ידי התאמה
f:H→aH עם f(h)=ah. זו התאמה חד-חד-ערכית ועל, ולכן |aH|=|H|.

לכן G מתחלקת ל-k מחלקות שכל אחת בגודל |H|. כלומר k·|H|=|G|, ומשם |H| מחלק את |G|.

לגראנז' אומר: אם יש חבורה סופית G ו-H היא תת-חבורה שלה, אז גודל H מחלק את גודל G. חבורה = קבוצה עם חוק חיבור בין איברים. תת-חבורה = קבוצה מתוך החבורה ששומרת על אותו חוק.

עוד דבר חשוב: גודל כל איבר בחבורה מחלק את גודל של כל הקבוצה. כך לכל איבר g נכונה הנוסחה g בחזקת |G| = היחידה (e).

גם יש מקרה מיוחד: אם החבורה היא אבולית (הסדר של הפעולה לא משנה), לעתים יש תת-חבורה לכל מחלק של הגודל. זה לא תמיד נכון. דוגמה קצרה: A4 היא חבורה בגודל 12 ואין בה תת-חבורה בגודל 6.


מחלקים את G לקבוצות מסוג aH. כל קבוצה כזאת היא אוסף של איברים שמקבלים כשמכפילים a בכל איבר של H.

בונים התאמה f מהאיברים של H אל aH על ידי f(h)=ah. זוהי התאמה חד-חד-ערכית ומילואה, לכן לכל aH יש בדיוק |H| איברים.

אם יש k קבוצות כאלו, אז k כפול |H| שווה ל-|G|. לכן |H| מחלק את |G|.