משפט קרונקר-ובר קובע שכל הרחבה גלואה אבלית סופית של שדה המספרים הרציונליים מוכלת בשדה ציקלוטומי. שדה ציקלוטומי הוא שדה שמקבלים כשמוסיפים לשדה הרציונליים שורש יחידה ζ_n, מספר שהחזקה ה-n שלו שווה 1. רעיונות ההוכחה הוצעו על ידי קרונקר ב-1853 והוכחו על ידי ובר ב-1886.
חבורת גלואה של הרחבה ציקלוטומית ידועה ואיזומורפית לקבוצת היחידות המודולרית המתאימה (הקבוצה שמכילה את המספרים שהם ביחס לאפס ביחס ל-n). לכן הרחבות אלו הן אבליות. המשפט נותן תשובה חיובית לשאלה ההפוכה: כל הרחבה אבלית סופית של הרציונליים נמצאת בתוך הרחבה ציקלוטומית. בנוסף, כל חבורה אבלית סופית ניתנת להגשמה כחבורת גלואה של הרחבה מתאימה על ידי בחירת שדה ציקלוטומי מתאים ושימוש במבנה קבוצות היחידות.
דוגמה פשוטה: במקרה של הרחבות ריבועיות (הרחבות שמקבלים על ידי הוספת שורש ריבועי √d) אפשר להראות שהן מופיעות בתוך שדות ציקלוטומיים. ההצעה היא להוריד למקרה שבו ד הוא ראשוני. מתוך העובדה שכל הרחבה p-ציקלוטומית היא אבלית ונושאת תת-שדה ריבועי יחיד, ושימוש בחישובי דיסקרימיננטה (מספר שמאפיין הרחבה ריבועית) מוודא שהשורש שנוספה חייב להיות מהצורה המתאימה, ואת סימן d אפשר לתקן בעזרת הוספת √(-1).
אפשר לנסח את המשפט גם כך: בוחרים כל פעם ראשוני p ומשתמשים בשורשי היחידה מ־p^k. כל אוטומורפיזם של הסגור האלגברי של הרציונליים שולח שורש יחידה לשורש יחידה, ולכן מקבל סדרה של חזקה. כשמְשַׁקְּלִים את הגבול הזה מקבלים איבר בחוג היחידות ה־p־אדי (המספרים ה־p־אדיים הם סוג של השלמה של הרציונליים ביחס ל-p). ההומומורפיזם שמקבל כל אוטומורפיזם ומסמן לו את הסדרה הזאת נקרא הקרקטור ה־p־אדי הציקלוטומי. אם מדביקים את כל הקרקטורים האלה יחד, מקבלים הומומורפיזם מן החבורה האבסולוטית למכפלת קבוצות היחידות ה־p־אדיות. ההומומורפיזם עובר דרך האבליניזציה של החבורה האבסולוטית (כלומר המנה שמקבלת רק את החלק האבלי שלה) והוא מתאר את חבורת הגלואה של ההרחבה האבלית המקסימלית. משפט קרונקר-ובר טוען שהמפה הזו היא איזומורפיזם: היא נותנת תיאור מלא של החלק האבלי של חבורת הגלואה.
התוצאה ההגיונית היא שהתנהגות החלק האבלי של הרחבות הרציונליים נקבעת לגמרי על ידי ההרחבות ה־p־ציקלוטומיות. לכן נוסח נוסף של המשפט הוא שוב: כל הרחבה גלואה אבלית סופית של הרציונליים מוכלת בשדה ציקלוטומי.
בלובין וטייט (1965, 1966) הוכח נוסח מקומי דומה: כל הרחבה אבלית של שדה מקומי (שדה שמתקבל כהשלמה ביחס לפריימים) מתקבלת על ידי הרחבות ציקלוטומיות ובניית הרחבות מסוג לובין-טייט. מצד שני, באמצעות למת הנזל מראים שכל הרחבה לא מסועפת של השלמת המספרים ביחס ל-p נתקבלת בהוספת שורשי יחידה מתאימים.
משפט קרונקר-ובר אומר: כל הרחבה אבלית סופית של המספרים הרציונליים נמצאת בתוך שדה ציקלוטומי. שדה ציקלוטומי נוצר כשהוסיפו מספר ששווה ל-1 כשהורמים אותו בחזקה n. קרונקר הציע את הרעיון ב-1853, ובר הוכיח זאת ב-1886.
דוגמה קלה: הרחבות ריבועיות נוצרות כשמוסיפים שורש ריבועי √d. אפשר להראות שהן תמיד יושבות בתוך שדה ציקלוטומי. אם צריך לתקן סימן רשי, מוסיפים √(-1).
אפשר לראות איך כל סימטריה של המספרים פועלת על שורשי היחידה. פעולה זו נותנת איבר במספרים ה־p־אדיים (זו דרך למדוד איך שורש היחידה משתנה לפי המספר p). כשמחברים את כל המידות האלה מקבלים תיאור של כל ההרחבות האבליות. משפט קרונקר-ובר אומר שהתיאור הזה מדויק לחלוטין.
לובין וטייט הראו ששדות מקומיים מקבלים הרחבות אבליות על ידי שורשי יחידה ועוד בנייה מיוחדת שלהם. גם בעזרת למת הנזל רואים שהרחבות לא מסועפות של השלמת המספרים ביחס ל-p נוצרות על ידי שורשי יחידה.
תגובות גולשים