חבורת גלואה האבסולוטית

חבורת גלואה האבסולוטית של שדה K היא חבורת הגלואה של הסגור הספרבילי K^{sep} מעל K.
הסגור הספרבילי הוא הרחבה שכוללת את כל השורשים שהינם "separable", כלומר לא כפולים.
בשדות ממאפיין אפס הסגור הספרבילי שווה לסגור האלגברי.
חבורת גלואה האבסולוטית של המספרים הרציונליים, ובאופן כללי של שדות מספרים, חשובה מאוד בתורת המספרים האלגברית.
זו חבורה פרו-סופית, כלומר היא מתקבלת כגבול פרויקטיבי של חבורות גלואה של הרחבות סופיות.
בכלל קשה לחשב חבורת גלואה אבסולוטית. אפילו במקרה של הרציונליים ידוע מעט.
מעל כך יש מקרים בהם אפשר להבין חלקים ממנה: מסמנים ב-Γ_F(p) את המנה המקסימלית של Γ_F שהיא חבורת pro-p, כלומר החלק שקשור במספר ה- p.
אם F שדה מקומי המאפיין שלו הוא p, אז Γ_F(p) חופשית (תוצאה של Shafarevich).
אם F היא הרחבה סופית של Q_p, אז Γ_F(p) היא חבורה פרו-סופית בעלת יחס יחיד.
תכונה מרכזית היא היותה פרו-סופית והקשר שלה להרחבות סופיות של השדה.
בעיה מרכזית היא חישוב מדויק של החבורה, במיוחד עבור השדה Q של הרציונליים.

חבורת גלואה האבסולוטית של שדה היא קבוצת כל ההחלפות (סימטריות) של מספרים מרחבה גדולה.
הסגור הספרבילי הוא סגור שמכיל את כל ההרחבות שבהן השורשים מסודרים ולא כפולים.
בשדות מסוימים זה שווה לסגור האלגברי.
החבורה הזו חשובה בלימוד מספרים.
קשה לדעת את החבורה הזאת בדיוק. זה קשה גם עבור המספרים ההרציונליים.
יש חלקים שרואים רק את מה שקשור במספר p. חלק כזה לפעמים פשוט יותר.
החבורה נוצרת מ"גבול" של חבורות קטנות יותר.
אתגר גדול הוא למצוא את כל ההחלפות בחבורה, במיוחד עבור הרציונליים.