משפטי סילו

משפטי סילו עוסקים בתת־חבורות p מקסימליות בחבורה סופית. חבורה p היא חבורה שסדרה (מספר האיברים בה) הוא חזקה של מספר ראשוני p. חבורות כאלה הן נילפוטנטיות, כלומר בעלות מבנה שמסתדר לאחר מספר צעדים אלגבריים.

אם p מחלק את סדר החבורה G, קיימת חזקה מקסימלית של p שמחלקת את הסדר. אם p^n היא החזקה הזו, תת־חבורה מסדר p^n נקראת חבורת p־סילו של G. חלופה: חבורת סילו היא תת־חבורה שהיא חבורת p ובעלת אינדקס (מספר המעברים לקבוצות השמאליות) שלא מתחלק ב־p.

נניח |G| = p^n m, כאשר p לא מחלק את m. נסמן ב‑n_p את מספר חבורות הסילו של G.

קיימת חבורת p־סילו בחבורה G. הכללה אומרת שגם לכל חזקה של p שמחלקת את |G| יש תת־חבורה מתאימה.

כל חבורות הסילו צמודות זו לזו. כלומר כלן נראות אחת כמו השנייה אחרי החלפה פנימית בחבורה. בנוסף, כל תת־חבורה שהיא חבורת p מוכלת בחבורת סило כלשהי.

;מסקנה
חבורת סילו יחידה (n_p = 1) שווה בדיוק למצבים שבהם היא תת־חבורה נורמלית של G.

נ_p שווה ל־1 מודולו p. מכאן נובע שנ_p חלקי את m.

את המשפטים הוכיח לודוויג סילו ב‑1872. יש הוכחות שונות; אחת מפורסמות מיוחסת לנתן ג'ייקובסון והיא מבוססת על פעולה של G על אוספי תת־קבוצות. הרעיון בקצרה: בוחרים את אוסף התת־קבוצות בגודל p^n; החבורה פועלת על האוסף הזה. מתוך תכונות המסלולים והייצוב (orbit‑stabilizer), מוצאים תת־קבוצה שהייצוב שלה הוא בדיוק חבורת סילו. כדי להראות שכולן צמודות ונ_p ≡ 1 (mod p) משתמשים בחישובים של גדלי מסלולים תחת הפעולה.

לדוגמה אם |G|=24=2^3·3, יש חבורת 3־סילו מסדר 3 וחבורת 2־סילו מסדר 8. משפטי סילו מאפשרים לנתח חבורות סופיות על ידי תתי־חבורות אלה והפעולה שלהן.

משפטי סילו מדברים על תתי־חבורות מיוחדות בחבורה סופית. מספר p הוא מספר ראשוני. חבורת p היא חבורה שמספר האיברים שלה הוא p בחזקה מסוימת.

חבורת סילו היא תת־חבורה שגודלה הוא החזקה המקסימלית של p שמחלקת את סדר החבורה.

אם p מחלק את סדר החבורה, יש תמיד חבורת סילו.

כל חבורות הסילו דומות זו לזו. כלומר אפשר להגיע מאחת לשנייה על ידי פעולות בתוך החבורה. כל חבורת p קטנה יותר נמצאת בתוך חבורת סילו כלשהי.

;מסקנה
אם יש רק חבורת סило אחת, היא נשארת במקום תמידית תחת כל הפעולות. זה נקרא תת־חבורה נורמלית.

מספר חבורות הסило נותן שארית 1 כשמחלקים ב‑p. לכן המספר הזה גם צריך לחלק את החלק ב‑m כאשר |G|=p בחזקה n כפול m.

אחת ההוכחות משתמשת בכך שהחבורה פועלת על קבוצות בגודל המתאים. לבסוף מוצאים חבורה עם הגודל הנכון, והיא חבורת סילו.

אם |G|=24, יש חבורת 3־סילו מסדר 3 וחבורת 2־סילו מסדר 8.