סדרה נורמלית
סדרה נורמלית היא שרשרת של תתי־חבורות. כל תת־חבורה בשרשרת מתאימה למסגרת שלפניה. תת־חבורה נורמלית - תת־קבוצה שמתאימה היטב לכל איברי החבורה. גורמי הסדרה הם החבורות שמתקבלות כשמחלקים שכבה אחת בשכבה שמתחתיה. סדרת הרכב נגמרת באיבר היחיד {e}. אי־אפשר לפצל אותה יותר. כל הגורמים שלה הם חבורות פשוטות. חבו...
מערכת אורתונורמלית שלמה
מערכת אורתונורמלית היא קבוצה של וקטורים. וקטור הוא חץ שמייצג כיוון וגודל. הווקטורים במערכת ניצבים זה לזה. ניצבים פירושו שהזווית ביניהם היא 90 מעלות. כל וקטור במערכת גם באורך 1. האורך הזה קוראים לו נורמה. מערכת שלמה היא מערכת שאי אפשר להוסיף לה עוד וקטור חדש שניצב לכל הווקטורים שלה. כשהולכים לבדוק כ...
התפלגות נורמלית
התפלגות נורמלית היא צורת הסתברות שנראית כמו עקומת פעמון. העקומה באמצע גבוהה ושני הצדדים יורדים. היא מופיעה כשהם מחשבים ממוצע מ-הרבה מדידות. למשל, גובה אדם או טעויות קטנות במדידות. לכן משתמשים בה במדידות ובמבחנים. מתמטיקאים כמו דה מואבר ולפלאס ראו את העקומה כבר במאה ה־18. גאוס עיבד אותה בסוף המאה ה...
העתקה נורמלית
אופרטור נורמלי הוא העתקה מיוחדת במרחב שמודד אורכים וזוויות. (מרחב מכפלה פנימית הוא זה שמודד אורכים וזוויות.) העתקה צמודה היא העתקה קשורה ל־T. (היא עונה על חוק שמקשר בין זוג וקטורים.) העתקה נורמלית מתחלפת עם הצמודה שלה. אם T מחלק את המרחב לחלקים קטנים כך שבכל חלק היא כופלת בערך קבוע, אז העתקה S שמת...
חבורה שלמה
חבורה שלמה היא חבורה עם שני כללים פשוטים. המרכז - קבוצת האיברים שמתחלפים בלי לשנות סדר הפעולות - קטן מאוד. רק האיבר הניטרלי נמצא בו. אוטומורפיזם (החלפה ששומרת על חוקי החבורה) הוא תמיד פנימי. פנימי אומר שההחלפה נעשית על ידי "סיבוב" בתוך החבורה. דוגמה ידועה היא חבורות הסימטריה S_n. הן שלמות כמעט תמיד....
שיטות נומריות לחישוב אינטגרלים מסוימים
חלק מהאינטגרלים אי אפשר לפתור בדיוק. אז מחשבים קירובים מספריים. אינטגרל = השטח מתחת לגרף של פונקציה. פונקציה = חוק שמקבל מספר ומחזיר מספר. מחליקים את הקטע לחלקים קטנים. בכל חלק מודדים את גובה הפונקציה. מכפילים את הגובה ברוחב החתיכה ומוסיפים. ככל שיש יותר חלקים, התוצאה מתקרבת יותר לאמת. שיטת הטרפז ...
ציון תקן
ציון תקן (ציון z) אומר כמה רחוק ערך מהממוצע. הממוצע זה ה"מרכז" של כל הערכים. סטיית תקן היא כמה הערכים מתפזרים סביב הממוצע. כדי למצוא ציון תקן לוקחים את ההפרש בין הערך לממוצע. אחר כך מחלקים בסטיית התקן. כך מקבלים כמה סטיות תקן הערך גבוה או נמוך מהממוצע. כשיש ממוצע של קבוצה קטנה, משתמשים בסטיית ה...
E (קבוע מתמטי)
e הוא מספר מיוחד בערך 2.718281828. הוא משמש כבסיס ללוגריתם טבעי. האזכור הראשון לקבוע נמצא ב-1618. לאונרד אוילר החל להשתמש באות e במאה ה-18. =מה זה בעצם? כשמחשבים ריבית שוב ושוב ובאופן רציף, התוצאה מתקרבת ל-e. לכן e קשור לצמיחה שנמשכת בלי הפסקה. אם מפקידים שקל אחד ויוצאים על זה 100% ריבית לשנה, הס...
DNF
DNF או הצורה הנורמלית הדיסיונקטיבית היא דרך לכתוב ביטויים לוגיים. ביטוי כזה הוא רשימה של חלקים שמחוברים ב'או'. כל חלק נקרא פסוקית. פסוקית היא קבוצת ליטרלים. ליטרל הוא משתנה (סימן שיכול להיות אמת או שקר) או שלילה שלו. כדי להכניס נוסחה ל‑DNF מוצאים את כל השיפוצים של המשתנים שהופכים את הנוסחה לאמת. ל...
אמידה
אמידה היא דרך להעריך תכונות של קבוצה גדולה בעזרת דוגמה קטנה. דוגמה היא לקחת כמה אנשים ולמדוד את הגובה שלהם. לדוגמה, לפעמים יודעים שהערכים נופלים לפי "התפלגות". התפלגות היא דרך לתאר איך הערכים מופיעים. למשל, גובה ילדים יכול להתפלג בצורת פעמון. מספר נורות שיישרפו בשעה יכול להתפלג לפי חוק שונה בשם פוא...
משפט הגבול המרכזי
משפט הגבול המרכזי אומר: אם לוקחים הרבה דברים אקראיים ודומים ומממוצעים אותם, התוצאה בדרך כלל נראית כמו עקומת פעמון. עקומת פעמון זו נקראת התפלגות נורמלית. אם יש רבים מאותה תופעה אקראית עם אותו ממוצע ושונות, הממוצע שלהם מתקרב למה שנקרא 'נורמלי' כשמספר התצפיות גדול. נניח שמבצעים n ניסויי מטבע או ניסוי...
משפטי סילו
משפטי סילו מדברים על תתי־חבורות מיוחדות בחבורה סופית. מספר p הוא מספר ראשוני. חבורת p היא חבורה שמספר האיברים שלה הוא p בחזקה מסוימת. חבורת סילו היא תת־חבורה שגודלה הוא החזקה המקסימלית של p שמחלקת את סדר החבורה. אם p מחלק את סדר החבורה, יש תמיד חבורת סילו. כל חבורות הסילו דומות זו לזו. כלומר אפשר...
משפטי האיזומורפיזם
יש שלושה משפטים חשובים באלגברה. הם מדברים על איך אפשר להחליף מבנים בחלקים שלהם ולהשוות ביניהם. אם יש העתקה שמכבדת את המבנה, הומומורפיזם (העתקה ששומרת על פעולות), אז מחלקים את המבנה לפי כל מה שנשלח לנייטרלי. הקבוצה הזאת קוראים לה גרעין (הקבוצה שנשלחת לזהות). התוצאות של ההעתקה קוראים להן תמונה. המ...
מחלקה (תורת החבורות)
מחלקה (קוסט) היא קבוצה שמקבלים כשמכפילים כל איברי תת-חבורה H באיבר אחד g מהחבורה G. זאת אומרת, לוקחים את כל ה-h שב-H ומצמידים להם את g. מחלקות מחלקות את כל החבורה לקבוצות נפרדות. כל קבוצת מחלקה שווה בגודלה ל-H. בדרך כלל מחלקות אינן תת-חבורות, חוץ מהמקרה הפשוט H עצמה. דוגמה קצרה: בחבורה G={1,-1,i,-...
חבורת מנה
חבורת מנה היא חבורה שמורכבת מקבוצות קטנות שנקראות מחלקות (כל מחלקה היא קבוצת איברים שקשורים זה לזה). יש חבורה G ותת־חבורה מיוחדת N שנקראת נורמלית. נורמלית פירושה שהמחלקות משמאל ומשמאל זהות. עושים אוסף של כל המחלקות G/N. כופלים שתי מחלקות כך: יוצרים מחלקה מהכפל של נציגי המחלקות. הפעולה הזו תמיד יוצ...
אורתוגונליות
אורתוגונליות היא רעיון כללי ל'ניצבות'. שני וקטורים אורתוגונליים אם משהו שנקרא מכפלה פנימית שווה לאפס. מכפלה פנימית היא דרך לחשב יחס בין שני וקטורים, כמו למדוד זווית. וקטור הוא אורתוגונלי למרחב אם הוא אורתוגונלי לכל וקטור במרחב הזה. מספיק לבדוק מול הווקטורים הבסיסיים. המשלים האורתוגונלי של קבוצה ה...
מטריצה אוניטרית
מטריצה אוניטרית היא מטריצה ריבועית של מספרים מרוכבים. מטריצה ריבועית פירושה אותו מספר שורות ועמודות. מספרים מרוכבים הם מספרים עם חלק דמיוני. חלק דמיוני הוא החלק שלא ממש "כמו מספרים רגילים". יש לה צמוד הרמיטי. צמוד הרמיטי הוא לקחת את המטריצה, להחליף שורות בעמודות, ולשנות את החלקים הדמיוניים. כשהכופלי...
CEP
CEP (סבירות שגיאה מעגלית) מודד כמה מדויק כלי נשק. זה הרדיוס של מעגל. רדיוס הוא המרחק מהמרכז. המעגל מרכזו בממוצע הפגיעות. בתוך המעגל הזה יהיו חצי מהפגיעות. לדוגמה, לטיל סקאד‑B CEP של 900 מטר. זאת אומרת שחצי הפעמים הטיל ייפול בתוך 900 מטר מהמטרה. בעבר בנו את היעליון על הנחה שהפגיעות מפוזרות באופן מעגל...
קרל פרידריך גאוס
יוהאן קרל פרידריך גאוס (1777, 1855) היה מתמטיקאי גרמני מפורסם. הוא נחשב ל"נסיך המתמטיקאים" בגלל רעיונותיו הרבים. גאוס נולד במשפחה ענייה. כאדם צעיר הוא היה ילד פלא. מורה בבית הספר החליט להראות שהוא חכם: הוא חישב במהירות את סכום המספרים מ‑1 עד 100, והראה תבונה מיוחדת. ב‑1801 פרסם גאוס את הספר "מחקרי...
מרכז (תורת החבורות)
מרכז החבורה G הוא כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר ב‑G. "מתחלפים" פירושו gz=zg. השם Zentrum בגרמנית אומר "מרכז". המרכז הוא קבוצה מיוחדת בתוכה. אם מחזירים איבר על ידי gzg^{-1}, הוא עדיין במרכז. אם כל החבורה מתחלפת זו עם זו, אז המרכז הוא כל החבורה. חבורה חסרת מרכז פירושה Z(G)={e}. e הוא איבר היחידה, וה...
שונות
שונות אומרת כמה הערכים מתפזרים סביב הממוצע. הממוצע הוא המספר המייצג את כולם. אם השונות היא אפס, כל הערכים זהים. סטיית תקן היא השורש השני של השונות. היא מדברת באותן יחידות כמו הנתונים. אפשר לחשב שונות עבור ערכים שמופיעים בצורה בדידה או רציפה. מחשבים את הממוצע ואז בודקים כמה כל ערך רחוק ממנו. א...
חבורה (מבנה אלגברי)
חבורה היא קבוצה עם פעולה שמחברת שני איברים לאחד. הפעולה היא קיבוצית. קיבוצית פירושו שסדר הקיבוצים לא משנה. יש איבר מיוחד שנקרא יחידה. יחידה לא משנה איבר כשמכפילים. לכל איבר יש הופכי. הופכי הוא איבר שמוחק את ההשפעה. אם הפעולה תמיד מחליפה בין איברים, קוראים לחבורה חילופית או קומוטטיבית. תמורות הן ס...