הסדר של חבורה הוא מספר האיברים שבה (אם הוא סופי). משפט לגראנז' קובע שהסדר של כל תת-חבורה מחלק את הסדר של החבורה הגדולה. כלומר, ידיעת סדר החבורה עוזרת להבין את המבנה שלה.
בהינתן חבורה G ואיבר g בתוכה, הסדר של g, שמסמנים o(g), הוא המספר החיובי הקטן ביותר n כך ש־g בחזקת n שווה לאיבר היחידה e. החבורה הציקלית הנוצרת על ידי g היא הקבוצה של כל החזקות של g. לפי משפט לגראנז', הסדר של g מחלק את הסדר של G.
מסקנה חשובה: אם o(g) מחלק את |G|, אז g בחזקת |G| שווה ל־e. עוד מסקנה פשוטה היא שחבורה שסדרה הוא מספר ראשוני היא ציקלית. כלומר כל איבר פרט ליחידה יוצר את כל החבורה.
בחבורה הסימטרית S_3 יש שישה איברים, לכן |S_3| = 6. הסדר של איבר היחידה e הוא 1. שלושה איברים ב־S_3 הם בעלי סדר 2, ושני איברים הם בעלי סדר 3.
הסדר של חבורה הוא כמה איברים יש בה. אם יש לה שישה איברים, אומרים שהסדר הוא שש.
הסדר של איבר הוא כמה פעמים צריך להכפיל אותו בעצמו
עד שתקבל את האיבר המיוחד שנקרא יחידה. אם זה לא קורה אף פעם, אומרים שהסדר אינסופי.
חוק חשוב אומר: מספר הפעמים של כל איבר מתאים למספר האיברים בחבורה. לכן אם מכפילים איבר מספר פעמים ששווה לגודל החבורה, מקבלים את היחידה.
אם לחבורה יש מספר ראשוני של איברים, אז כל האיברים חוץ מהיחידה יכולים ליצור את כל החבורה.
בחבורה S_3 יש שישה איברים. האיבר היחידה שלו סדרו אחד. שלושה איברים יש להם סדר שני. ושניים מהם יש להם סדר שלוש.
תגובות גולשים