סדרה הנדסית

סדרה הנדסית (או סדרה גאומטרית) היא רשימת מספרים שבה היחס בין כל שני איברים סמוכים קבוע. יחס זה נקרא מנת הסדרה, מסומנת בדרך כלל ב-q. אפשר לקבל כל איבר על ידי הכפלת האיבר הקודם ב-q.


אם הסדרה מסומנת \{a_n\}_{n=1}^{\infty}, היא הנדסית אם קיים q כך שלכל n≥1: a_{n+1}=q\cdot a_n. המשוואה הזו היא נוסחת הנסיגה שמגדירה את הסדרה יחד עם הערך ההתחלתי a_1.


האיבר במקום ה-n ניתן על ידי הנוסחה: a_n = a_1 \cdot q^{n-1}. כלומר מכפילים את a_1 במנה q, n-1 פעמים.


סכום החלקים מהאיבר הראשון ועד האיבר ה-n מסומן S_n. הנוסחה הכללית היא:
S_n = a_1\frac{q^n-1}{q-1}, אם q\neq1.
עבור q=1 הסכום הפשוט הוא S_n = n\cdot a_1.
לדוגמה: עבור a_1=2, q=3 ומספר איברים 5, האיברים הם 2, 6, 18, 54, 162 והסכום 242.


כדי למצוא את S_n כותבים את הסכום כ-a_1+a_1q+...+a_1q^{n-1}. כופלים אותו ב-q ומשווים בין הביטויים. הסדרות החסרות מתבטלות, ומשיגים את הנוסחה עבור S_n, ואז מחלקים ב-(q-1).


אם מתחילים את האינדקס ב-0, אז a_n = a_0\cdot q^n, והסכום החלקי הוא S_n = a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1}.


כשמסתכלים על סכום של אינסוף איברים, מתקבל טור אינסופי. אם |q|<1 אז q^n\to0. במקרה זה סכום הטור המתכנס הוא:
S_\infty = \frac{a_1}{1-q}.
התכנסות זו חשובה כי מאפשרת להשוות טורים אחרים לטור הנדסי כדי לבדוק אם הם מתכנסים.

סדרה הנדסית היא רשימה של מספרים. כל מספר ברשימה מתקבל בהכפלה.
המספר הקבוע שמכפיל נקרא מנה הסדרה. מסמינים אותו q.


אם a_1 הוא האיבר הראשון, כל איבר הבא שווה ל-q כפול האיבר שלפניו.
נוסחה זו כותבת: a_{n+1} = q \cdot a_n.


האיבר ה-n מיוצג כך: a_n = a_1 \cdot q^{n-1}.
זה אומר שמכפילים את a_1 ב-q, שוב ושוב, n-1 פעמים.


כדי לסכם עד האיבר ה-n משתמשים בנוסחה פשוטה:
S_n = a_1\frac{q^n-1}{q-1}, כשq שונה מ-1.
אם q שווה ל-1, אז הסכום הוא S_n = n\cdot a_1.


אם a_1=2 ו-q=3 והסדרה כוללת 5 איברים, האיברים הם:
2, 6, 18, 54, 162. הסכום של כולם הוא 242.


אם יש אינסוף איברים, לפעמים הסכום מתכנס למספר קבוע.
זה קורה כש-|q| קטן מ-1. אז הסכום הוא a_1/(1-q).