סדרת מחלקים

סדרת מחלקים היא סדרת מספרים שבה כל איבר אחרי הראשון שווה לסכום המחלקים של האיבר הקודם.
מחלקים הם מספרים שמתחלקים בלי שארית במספר הנתון (כולל 1, לא כולל את המספר עצמו).
דוגמה: 45 → 33 → 15 → 9 → 4 → 3 → 1. הסדרה נעצרת ב־1 כי אין לו מחלקים אמיתיים.
לעתים עוצרים את הסדרה כבר במספר ראשוני. מספר ראשוני הוא מספר שמתחלק רק ב־1 ובעצמו.
אפשרות אחרת היא שהסדרה מגיעה ל"שרשרת" שחוזרת על עצמה, למשל מספרים חברותיים או מספר משוכלל.
מספר משוכלל הוא מספר ששווה לסכום מחלקיו (כולל 1, לא כולל עצמו).
דוגמה קצרה נוספת: 95 → 25 → 6; כאן 6 הוא מספר משוכלל.
השאלה המרכזית היא האם קיימות סדרות שממשיכות לנצח מבלי להגיע לראשוני או להיכנס לשרשרת חוזרת.
השערת קטלן (אל לא לערבב עם השערה אחרת בעלת שם דומה) טוענת שאין סדרות כאלה: כל סדרה מסתיימת באחת מהאפשרויות.
קיימת גם השערה הפוכה, ושניהם ללא הוכחה עד היום.
חלק מהמספרים שפעם לא ידעו את סיומם, היום נבדקו ונמצאו מסתיימים בנכס או בשרשרת. המספר הקטן ביותר שעדיין לא ידוע לגביו הוא 276.
לסדרת המחלקים של 276 כבר חושבו למעלה מ־1500 איברים, והאיברים האחרונים שנבדקו הם גדולים מאוד, עם למעלה מ־150 ספרות.
התחלה ידועה של הסדרה עבור 276: 276, 396, 696, 1104, 1872, 3770, 3790, 3050, 2716, 2772, 5964, ...

סדרת מחלקים מתחילה ממספר. אחרי כל מספר שמים את סכום המחלקים שלו.
מחלקים הם מספרים שמתחלקים בלי שארית במספר הנתון. כל פעם כוללים את 1 ולא כוללים את המספר עצמו.
דוגמה פשוטה: 45 ואז 33 ואז 15 ואז 9 ואז 4 ואז 3 ואז 1. כאן הסדרה נגמרת ב־1.
לפעמים הסדרה מגיעה למספר ראשוני. מספר ראשוני מתחלק רק ב־1 ובעצמו.
לפעמים הסדרה נכנסת ל"לולאה" של מספרים שחוזרים על עצמם. למשל מספרים חברותיים, זוג מספרים שכל אחד סכום מחלקיו הוא השני.
עוד דוגמה: 95, אז 25, אז 6. המספר 6 הוא מספר משוכלל. מספר משוכלל שווה לסכום המחלקים שלו.
יש השערה שנקראת השערת קטלן. היא אומרת שכל סדרה תסתיים באחד מהמצבים האלה. עדיין אין הוכחה.
המספר הקטן ביותר שלא יודעים עליו בוודאות הוא 276. הסדרה שלו כבר כוללת יותר מ־1500 מספרים.
המספרים האחרונים בסדרה מאוד גדולים ויש להם יותר מ־150 ספרות.
התחלה של הסדרה של 276: 276, 396, 696, 1104, 1872, ...