פונקציה חלקית

במתמטיקה, פונקציה חלקית (Partial function) היא יחס בין קבוצה X לקבוצה Y שבו שומרים על עיקרון ה"חד־ערכיות". כלומר, לכל איבר x בתחום X יש לכל היותר איבר אחד y בטווח Y שמקושר אליו. המילה "תחום" כאן מתייחסת לקבוצה של הערכים שמכניסים לפונקציה, ו"טווח" מתייחס לערכים שהיא מחזירה.

אם עבור כל איבר x ב‑X קיים בדיוק איבר אחד y ב‑Y שמקושר אליו, אז היחס נקרא פונקציה שלמה (פשוט: פונקציה). פונקציה חלקית עלולה להשאיר כמה ערכים ב‑X ללא ערך ב‑Y. כאשר זה קורה, תכונת ה"מלאות" או ה"שלמות" (totality) לא מתקיימת, ולכן היחס אינו פונקציה שלמה. לדוגמה, אם קיים x מסוים (כמו 1) שאין לו ערך בטווח Y, הפונקציה אינה מוגדרת על אותו x ולכן אינה פונקציה שלמה.

דוגמה מוכרת: f(x)=√x מ‑R ל‑R היא פונקציה חלקית, כי השורש הריבועי אינו מוגדר לכל מספר ממשי (למשל לא לכל המספרים השליליים). לכן f אינה פונקציה שלמה מ‑R ל‑R. מצד שני, אם נגדיר f מ‑R^+ ל‑R (R^+ היא קבוצת המספרים המתאימים), אז הפונקציה תהיה מוגדרת על כל x ב‑X וזו כבר פונקציה שלמה.

פונקציה חלקית היא חוק שמקשר ערכים משתי קבוצות. לכל מספר כניסה (תחום) יש או אפס או מספר אחד בלבד של פלטים (טווח). המילה "חד־ערכיות" אומרת שיש לכל כניסה לא יותר מפלט אחד.

אם לכל כניסה יש בדיוק פלט אחד, קוראים לזה פונקציה שלמה. אם יש כניסה בלי פלט, היא לא שלמה. למשל הפונקציה f(x)=שורש x מ‑R ל‑R לא נותנת תוצאה לכל המספרים. לשורש אין ערך עבור חלק מהמספרים (כמו מספרים שליליים), לכן היא פונקציה חלקית מ‑R ל‑R. אם נגדיר אותה רק ל‑R^+ (המספרים שמתאימים), אז היא תהיה שלמה.