פונקציית גמא

פונקציית גמא (Γ) היא פונקציה מרומורפית שמרחיבה את רעיון ה"עצרת" (factorial) לכל המספרים המרוכבים. עבור מספר טבעי n מתקיים Γ(n) = (n-1)!. אוילר הגדיר את הפונקציה באמצע המאה ה-18. השימוש בסימון Γ נקשר עם עבודתו של לז'נדר, וגאוס הציע גרסה קשורה Π(z)=Γ(z+1).

הפונקציה מוגדרת בצד ימין של המישור המרוכב על ידי האינטגרל
Γ(z)=∫_0^∞ t^{z-1} e^{-t} dt
זה נכון לכל z שהחלק הממשי שלו חיובי. יש גם ביטוי באמצעות גבול שמאפשר המשכה אנליטית של הפונקציה לכל המישור, חוץ מנקודות מסוימות.

Γ מקיימת את המשוואה הפונקציונלית Γ(z+1)=z Γ(z), שאיתה מקבלים את הקשר לעצרת. לפונקציה יש קוטבים פשוטים בנקודות z=0,-1,-2,… ואין לה שורשים.

כש n הוא שלם וחיובי, ההגדרה האינטגרלית נותנת Γ(n)=(n-1)!, שכן מהמשוואה הפונקציונלית והערך Γ(1)=1 מקבלים את זה בקלות.

נוסחת השיקוף: Γ(1-z) Γ(z) = π / sin(π z). מתוך נוסחה זו נובע ש־Γ(1/2)=√π.
יש גם נוסחת כפל של גאוס שמקשרת מכפלות של Γ לערך של Γ בכפלים של הארגומנט. בנוסף, לפונקציה יש ביטוי כמכפלה אינסופית לפי ויירשטראס, שכוללת את קבוע אוילר, מסקרוני γ.
השרש של קוטב בנקודה −n הוא Res(Γ,−n)= (−1)^n / n!.

המשפט קובע תכונות שמאפיינות את פונקציית גמא על הממשי החיובי: פונקציה חיובית f עם f(1)=1, f(x+1)=x f(x) ועם f לוג-קמורה (log-convex) היא בהכרח פונקציית גמא. משפט זה משמש בהוכחות לנוסחת סטרלינג.

לאומדן הערכים הגדולים של Γ משתמשים בנוסחת סטרלינג:
Γ(z) ~ √(2π) z^{z-1/2} e^{−z}
היחס בין האומדן לערך האמיתי שואף ל-1 כש־|z|→∞.

פונקציית גמא היא דרך מיוחדת להמשיך את פעולת ה"עצרת" למספרים שלא בהכרח שלמים. לעצרת מתכוונים ל"חישוב הכפל" של כל המספרים מ-1 עד n.
אוילר גילה את הפונקציה לפני הרבה שנים. לז'נדר נתן את הסימון Γ, וגאוס הציע שם קרוב בשם פונקציית פאי.

לגמא יש חוק פשוט: אם מזיזים את הקלט ב־1, מתקבל הקלט הקודם כפול המספר. זה מסביר למה היא נותנת את אותה תוצאה כמו העצרת עבור מספרים שלמים.
יש לה גם "נקודות בעייתיות" - מקומות שבהם היא לא מוגדרת, למשל 0 ושליליים שלמים.

ערך מיוחד: כשמכניסים חצי לגמא, מקבלים שורש של π, כלומר Γ(1/2)=√π. זו עובדה יפה שחושפת קשר בין גמא לפאי.

קיימת דרך להגדיר פונקציה על החיוביים כך שהיא תעמוד בשלושה תנאים פשוטים. התנאים האלה מייחדים את פונקציית הגמא.

כשמספרים גדולים מאוד, אפשר לאמוד את ערך הגמא בעזרת נוסחה קרובה, שנקראת נוסחת סטרלינג.