פונקציית הערך השלם

פונקציית הערך השלם, שנקראת גם פונקציית "רצפה" (floor), מחזירה לכל מספר ממשי x את המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל‑x. כלומר היא מעגלת כל מספר כלפי מטה. דוגמאות: floor(2.7)=2, floor(-2.1)=-3, floor(-2)=-2.

הפונקציה הוגדרה לראשונה על ידי אדריאן-מארי לז'נדר ב‑1798. קרל גאוס הציע את הסימון [x] ב‑1808. קנת אייברסון הציג ב‑1962 את הסימון \\lfloor x \\rfloor ואת השם "floor".

לכל x מתקיים floor(x) ≤ x. השוויון נוצר רק כש‑x שלם. בנוסף: floor(x+n)=floor(x)+n כאשר n שלם.

פונקציית התקרה (ceiling) מחזירה את המספר השלם הקטן ביותר שגדול או שווה ל‑x. דוגמאות: ceil(2.7)=3, ceil(-2.1)=-2, ceil(-2)=-2. יש קשר פשוט: ceil(x) = -floor(-x). לכל מספר שלם k מתקיים floor(k)=ceil(k)=k.

במדעי המחשב יש את Trunc, שמקצצת את החלק השברי. היא פועלת כמו floor למספרים חיוביים, וכמו ceiling למספרים שליליים. לכל מספר שלם שלוש הפונקציות נותנות אותו ערך.

פונקציית הרצפה מוגדרת היטב מפני שלכל x קיימים מספרים שלמים שקטנים או שווים לו, ובקבוצה זו תמיד יש איבר גדול ביותר. באופן דומה פונקציית התקרה מוגדרת בגלל שקיימים מספרים שלמים שגדולים או שווים ל‑x ובקבוצה כזו יש תמיד איבר קטן ביותר.

פונקציית הערך השלם שקוראים לה גם "רצפה" לוקחת מספר ומוצאת את השלם הגדול ביותר שלא עולה עליו. דוגמה: floor(2.7)=2. אם המספר הוא שלילי, למשל -2.1, אז floor(-2.1)=-3.

המומחה לז'נדר כתב עליה ב‑1798. גאוס השתמש בסימון [x]. ב‑1962 הגיע הסימון עם קוים מטה \\lfloor x \\rfloor ושם "floor".

תמיד floor(x) קטן או שווה ל‑x. אם x שלם אז הם שווים. וגם floor(x+n)=floor(x)+n אם n שלם.

התקרה (ceiling) עושה את ההפך: היא מוצאת את השלם הקטן ביותר שעדיין גדול או שווה ל‑x. דוגמה: ceil(2.7)=3. קשר חשוב: ceil(x) = -floor(-x).

Trunc מקצצת את החלק השברי של מספר. היא מתנהגת כמו floor במספרים חיוביים. והיא מתנהגת כמו ceiling במספרים שליליים.

לכל מספר יש באמת מספר שלם הכי גדול שלא עולה עליו. לכן פונקציית הרצפה תמיד מוגדרת.