קבוע אוילר-מסקרוני

קבוע אוילר (נקרא גם קבוע אוילר, מסקרוני) הוא מספר חשוב בתורת המספרים. משתמשים בו בחישובים של גדילה מעריכית, בריבית דריבית ובהסתברויות. ערכו המוערך הוא כ־0.5772156649. עדיין לא ידוע אם הוא רציונלי (שווה לשבר פשוט) או לא.

קבוע אוילר מסומן בדרך כלל ב־γ ומוגדר בתור הגבול של ההפרש בין הסכום ההרמוני ולוגריתם טבעי:
γ = lim_{n→∞} (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n − ln n).
הרעיון הוא שסכום המספרים ההפיכים הוא גרסה בדידה של האינטגרל של 1/x, ולכן ההפרש מתממש לגבול סופי.

לאונרד אוילר הגדר את הקבוע במאה ה־18 וחישב אותו עד כמה עשרות ספרות. לורנצו מסקרוני הציע את הסימון γ ב־1790 וניסה להרחיב את החישוב. תגליות נוספות של מתמטיקאים כמו ראמנוג'אן הובילו לטורים נוספים שמתכנסים אל γ.

הסדרה an = 1 + 1/2 + ... + 1/n − ln n מתכנסת לערך סופי, וזהו בדיוק γ. ההוכחה מבוססת על השוואה בין סכומים אינטגרלים: כל איבר 1/k שווה לגובה של מלבן ברוחב 1, והאינטגרל של 1/x נותן חסם שמראה שהסדרה אינה רצה לאין־סוף.

γ נכתב גם כאינטגרלים שונים, למשל כאינטגרל של e^{−x} ln x (פונקציות שהן תכונות מתמטיות מתקדמות). יש גם טורים וביטויים שמערבים את פונקציית זטא של רימן ופונקציות גמא. למשל γ = −Γ'(1), כלומר נגזרת פונקציית גמא בנקודה 1 נותנת −γ.

הקבוע e^γ גם הוא חשוב. יש לו ביטויים במכפלות אינסופיות ובגבולות שמערבים מספרים ראשוניים. הערך המספרי של e^γ הוא כ־1.781072418.

קבוע אוילר מופיע במקומות רבים במתמטיקה, בעיקר בחיבור בין סכומים בדידים לאינטגרלים ובקשרים לפונקציות מיוחדות. למרות החישובים המדויקים, תכונות בסיסיות שלו, כמו האם הוא רציונלי, נשארות פתוחות.

קבוע אוילר הוא מספר חשוב במתמטיקה. הוא קטן מ־1. הערך שלו קרוב ל־0.5772.

לוקחים את הסכום 1 + 1/2 + 1/3 + ... עד מספר גדול מאוד. מוציאים ממנו את ה־ln, שהוא לוגריתם טבעי. ההפרש הזה מתקרב למספר קבוע. המספר הזה נקרא γ.

=למה זה מעניין?
הקבוע מופיע כשמשווים סכומים של מספרים עם שטחים מתחת לעקומה. הוא עוזר לחשב דברים כמו גדילה מהירה והסתברויות.

=היסטוריה קצרה
אוילר, מתמטיקאי גדול, הגדר את הקבוע לפני מאות שנים. מסקרוני נתן את האות γ לשמו. מדענים אחרים מצאו דרכים נוספות לחשב אותו.

=עוד קצת עובדות פשוטות
לא יודעים אם γ הוא שבר פשוט או לא. יש לו גם מספר קרוב של e^γ, שהוא כ־1.781. הקבוע מופיע בתחומים רבים במתמטיקה.