ברנהרד רימן

גאורג פרידריך ברנארד רימן (17 בספטמבר 1826, 20 ביולי 1866) היה מתמטיקאי גרמני שתרם תרומות מרכזיות לאנליזה, תורת המספרים ולגאומטריה דיפרנציאלית. הוא ניסח לראשונה בצורה מדויקת את מה שאנו קוראים היום "אינטגרל רימן" והעמיק בטורי פורייה. רימן המציא את רעיון "משטחי רימן", אובייקט גאומטרי שמסייע ללמד אנליזה מרוכבת בצורה גאומטרית. במאמרו מ‑1859 על התפלגות הראשוניים הוא הציג את פונקציית הזטא ונסח את השערת רימן, שהיא אחת הבעיות החשובות הפתוחות במתמטיקה.

רימן נולד בכפר בממלכת הנובר. אביו היה כומר לותרני ועבר את מלחמות נפוליאון. אמו נפטרה מוקדם. רימן היה השני משישה ילדים וסבל מביישנות וחרדות. כבר בילדותו הראה כישרונות מתמטיים, כמו חישוב מנטלי יוצא דופן.

בשנת 1840 עבר להנובר ולמד בגימנסיה. בתחילה רצה ללמוד תאולוגיה ולהיות כומר, אך בגטינגן מצא תחום אחר. שם שמע את הרצאות גאוס, שקידם את מעברו למתמטיקה. ב‑1847 עבר לברלין ולמד אצל יעקובי, דיריכלה ואחרים. חזר לגטינגן וקיבל דוקטורט ב‑1851 בהנחיית גאוס.

את הרצאותיו הראשונות נתן ב‑1854. הרצאתו המפורסמת על יסודות הגאומטריה פתחה את תחום הגאומטריה הרימנית. ב‑1857 התמנה לפרופסור בגטינגן. ב‑1862 התחתן עם אליזה קוך.

בשנת 1866 עזב רימן את גטינגן בזמן קרבות בין פרוסיה לנובר. הוא נסע לאיטליה ונפטר משחפת ב‑20 ביולי 1866. הובא לקבורה בביגנזולו. רימן היה אדם דתי ונשאר מאמין לאורך כל חייו. על מצבתו נחרט פסוק מהאיגרת אל הרומאים.

רימן פיתח את רעיונות הגאומטריה לממדים גבוהים יותר. הוא הציג מושגים כמו יריעה, מטריקה רימנית וטנזור העקמומיות. הרעיון שלו להקצות לכל נקודה אוסף של מספרים המתארים עקמומיות של המרחב הפך לבסיס לתורת המרחקים והעקמומיות. רעיונות אלה הניחו יסודות מתמטיים שעזרו מאוחר יותר לפיתוח תורת היחסות הכללית של איינשטיין.

בעבודת הדוקטורט רימן ביסס מסגרת גאומטרית לאנליזה מרוכבת באמצעות משטחי רימן. משטחים אלה הופכים פונקציות מרוכבות רב‑ערכיות לפשוטות יותר. רימן הוכיח משפטים חשובים על העתקות קונפורמיות, ונמצא בקו התחרות עם ויירשטראס לגבי היסודות האנליטיים. בחיבור מ‑1857 הוא הרחיב את התאוריה של פונקציות אבליות, הוכיח נוסחאות על הממד של מרחבי פונקציות והגדיר יחסי מחזורים רימניים.

רימן נתן הגדרה מדויקת לאינטגרל באמצעות סכומי רימן. הוא הוכיח שכל פונקציה רציפה כמעט־כלwhere (כלומר רציפה בכל מקום פרט למספר קטן של נקודות) ניתנת לאינטגרציה. בחקר טורי פורייה הראה שפונקציות אינטגרביליות יכולות להתבטא באמצעות טורים אלה, והוכיח תכונות חשובות של מקדמי פורייה.

במאמרו על מספר הראשוניים מתחת לגודל נתון רימן חקר את פונקציית הזטא כפרבונית של משתנה מרוכב. הוא הוכיח את המשוואה הפונקציונלית של הזטא וראה כי תכונות האפסים שלה קשורות להתפלגות המספרים הראשוניים. הוא הציב את מה שאנו מכנים כיום "השערת רימן", השערה על מיקום האפסים הלא‑טריוויאליים של פונקציית הזטא, והראה כיצד ידיעה עליהם הייתה נותנת נוסחה מדויקת למספר הראשוניים עד x.

רימן כתב כמה חיבורים על בעיות פיזיקליות והשתמש בתובנות מתמטיות כדי לגשת אליהן. הוא ראה בפיזיקה ובמתמטיקה ישות מאוחדת, ותשומותיו השפיעו על עבודות מתמטיות ופיזיקליות מאוחרות.

רימן השאיר כתבים קצרים בפילוסופיה של המדע ושל המתמטיקה. הוא דן בהבנת המרחב ובאופן בו רעיונות מתמטיים נוצרים. רמזים בכתביו מראים שהוא הושפע מפילוסופים גרמנים מסוימים, וראה את טבע המרחב כמשהו טופולוגי יותר מאשר מטרי.

רימן השפיע על ענפי מתמטיקה רבים. עבודתו עוררה מחקרים של מתמטיקאים מאוחרים והובילה לתחומים חדשים כגון גאומטריה רימנית ותאוריות על משטחים מרוכבים. חלק מעבודותיו נותרו לא מפורסמות, ובאחת המכונסות נשלחו כמה מסמכים באקראי מהשאריות במשרדו.

גאורג רימן נולד בשנת 1826 ונפטר ב‑1866. הוא היה מתמטיקאי גרמני חשוב.

רימן גדל בכפר. אביו היה כומר. כבר כילד היה לו כישרון בחשבון. הוא היה ביישן לעתים.

למד בגימנסיה בהנובר. באוניברסיטה שמעו אותו גאוס, מורה גדול. למד גם בברלין וחזר לגטינגן. קיבל דוקטורט ב‑1851.

הוא נתן הרצאה חשובה ב‑1854 על גאומטריה. הרצאה זו שינתה את הדרך שבה מדברים על מרחבים. ב‑1857 הפך לפרופסור. ב‑1862 נישא לאליזה קוך.

בשנת 1866 הייתה מלחמה באזור. רימן נסע לאיטליה. שם הוא חלה בשחפת ומתו. הוא היה אדם דתי מאוד.

רימן המציא כמה רעיונות מרכזיים:
- "אינטגרל רימן", דרך לחסוך אזורים מתחת לעקומות. (אינטגרל = סיכום של שטח)
- "משטחי רימן", משטחים שעוזרים להבין פונקציות מרוכבות. (פונקציות מרוכבות = פונקציות עם מספרים מיוחדים שנקראים מרוכבים)
- הוא חקר את פונקציית הזטא, שמקשרת בין מספרים פשוטים מאוד לבין אנליזה.

רימן העלה גם את השאלה שנקראת השערת רימן. היא אומרת שמשהו מיוחד קורה למספרים שמקיימים זטא=0. אף אחד עדיין לא פתר אותה.

הרעיונות של רימן השפיעו על פיזיקה מתקדמת. הם עזרו לבנות מושגים שאחרים, כמו איינשטיין, השתמשו בהם מאוחר יותר.

כמה ממכתביו ועבודותיו לא פורסמו. חלק מהתובנות שלו אולי אבדו.

שמות רבים במתמטיקה נקראים על שמו של רימן.