קוהומולוגיית צ'ך

קוהומולוגיית צ'ך היא קוהומולוגיה על אלומות (אלומה = מבנה שמקצה לכל שטח פתוח קבוצה או חבורה של חתכים וכפוף למפות צמצום). היא נקראת על שם אדוארד צ'ך.

קוהומולוגיית צ'ך מאפשרת לחשב מידע גלובלי של מרחב מתוך תכונות מקומיות שלו. בצורה פורמלית היא מקודדת את האופן שבו חתכים מקומיים של אלומה נדבקים או לא נדבקים לחתך גלובלי.

נניח X מרחב טופולוגי ו-\mathcal{F} אלומה של חבורות אבליות (חבורה שבה החיבור עצמאית מהסדר) על X. בונים את קומפלקס צ'ך בעזרת כיסוי פתוח \mathcal{U} של X.

אם \mathcal{U} = \{U_\alpha\} אז מגדירים קבוצות קו-שרשראות C^q(\mathcal{U},\mathcal{F}).
C^0 הוא המכפלה הישרה של \mathcal{F}(U_\alpha). בדרך כלל C^q הוא המכפלה על כל q+1, תצורות של אינדקסים, עם איברים שמתקיימים על החיתוכים המתאימים.
קו-שרשרת היא אוסף של ערכים המיוחסים לכל חיתוך מסוים של הכיסוי.

מגדירים את אופרטור השפה δ שממפה C^q ל-C^{q+1}. אם ω שייך ל-C^q אז
(δω)_{α_0…α_{q+1}} = Σ_{i=0}^{q+1} (-1)^i ω_{α_0…\check{α}_i…α_{q+1}}.
כאן \check{α}_i מסמל שהוצאנו את האינדקס ה‑i. משתמשים במפות הצמצום של האלומה כדי להשוות איברים המוגדרים על חיתוכים שונים. אפשר להראות ש-δ∘δ=0, ולכן מתקבל קומפלקס קו-שרשרת.

אם f∈C^0 אז לכל זוג α,β ההבדל (δ_0 f)_{αβ} שווה לצמצום של f_α פחות צמצום של f_β על U_α∩U_β.
אם f שייך לגרעין של δ_0 אז כל ההגבלות האלה שוות זו לזו. לפי אקסיומת ההדבקה של האלומה, זה נותן חתך גלובלי של \mathcal{F} על X ולהפך.
לכן ker δ_0 = \mathcal{F}(X).

קוהומולוגיית צ'ך של הכיסוי \mathcal{U} מוגדרת על ידי
H^q(\mathcal{U},\mathcal{F}) = ker δ_q / im δ_{q-1}.
כיסוי V שמדגבר (refinement) של U יוצר מיפוי מושר של קבוצות קוהומולוגיה. מערכת כל הכיסויים היא מערכת מכוונת לפי עידונים, ולכן קוהומולוגיית צ'ך של X מוגדרת כלימיט ישר על כל הכיסויים:
H(X,\mathcal{F}) = varinjlim_{\mathcal{U}} H(\mathcal{U},\mathcal{F}).

כיסוי \mathcal{U} נקרא כיסוי לרה אם לכל חיתוך סופי U של קבוצות מהכיסוי ולכל q≥1 מתאפסת קוהומולוגיית צ'ך של האלומה המגויסת על U, כלומר H^q(U,\mathcal{F}|_U)=0.

אם \mathcal{U} הוא כיסוי לרה אז הקוהומולוגיה של X ביחס ל-\mathcal{F} שווה לזו של הכיסוי: לכל q≥0 מתקיים H^q(X,\mathcal{F})=H^q(\mathcal{U},\mathcal{F}).
משפט לרה שימושי כי לעתים מאפשר לחשב קוהומולוגיה שלמרחב באופן מפורש, באמצעות כיסוי נוח.

קוהומולוגיית צ'ך היא דרך לבדוק מידע גלובלי במרחב, בעזרת נתונים על חלקים קטנים.

יש מרחב X ואלומה. אלומה (אלומה = מבנה שנותן לכל חלק פתוח חתכים או פונקציות וניתן להגביל אותן) היא מה שעובד על כל החלקים הקטנים.

כיסוי הוא אוסף של חלקים פתוחים שמכסים את X. קו-שרשרת הוא רשימה של ערכים שמקודשים לחיתוכים של חלקים אלה.

מגדירים פעולה שנקראת δ. היא לוקחת קו-שרשרת ויוצרת קו-שרשרת אחר.
הפעולה מחשבת חיבור וחיסור של הערכים על חיתוכים.
התכונה החשובה היא ש־δ אחרי δ תמיד נותן אפס.

אם יש לנו ערכים לכל חלק בודד, אז ההפרש שלהם על חיתוכים הוא δ_0.
אם כל ההפרשים האלה הם אפס, אז הערכים מתאימים זה לזה ויוצרים ערך אחד על כל X.

קוהומולוגיה היא קבוצה של מחלקות של קו-שרשראות, כלומר ker חלקי im.
קוהומולוגיית צ'ך של כל המרחב היא גבול של הקוהומולוגיות על כל הכיסויים.

כיסוי לרה הוא כיסוי שבו כל חיתוך סופי אין לו קוהומולוגיה גבוהה (היא אפס).

אם יש כיסוי לרה אז הקוהומולוגיה של המרחב שווה לזו שמחשבים על אותו כיסוי.
זה עוזר לחשב דברים בקלות יותר.