קומפלקס שרשרת

במתמטיקה ובאלגברה הומולוגית, קומפלקס שרשרת הוא מבנה אלגברי שמקורו בטופולוגיה. הוא קושר בין ציקלוסים (אלמנטים שסופגים את המפה ל־0) ושפות (אלמנטים שמגיעים כתמונה של מפה קודמת). בקונטקסט מודרני חוקרים קומפלקסים גם בצורה אבסטרקטית, בלי צורך בפרשנות גאומטרית. השימוש המרכזי הוא בהגדרת חבורות הומולוגיה.

קומפלקס שרשרת (A_•, ∂_•) הוא רצף של חבורות אבליות או מודולים … A_{n+1} → A_n → A_{n-1} … המקושרים על ידי מפות הגבול ∂_n: A_n → A_{n-1}. תנאי מרכזי: לכל n מתקיים ∂_n ∈ ∂_{n+1} = 0. משמעות התנאי בפשטות: אם מפעילים שתי מפות עוקבות מקבלים תמיד את האלמנט האפס.

הגרעין (kernel) של מפה ∂_n מכיל את ה"ציקלוסים", איברים שנשלחים לאפס על ידי ∂_n. התמונה (image) של ∂_{n+1} נקראת קבוצת ה"שפות", איברים שמקורם במפה קודמת. משום שהתנאי ∂ ∈ ∂ = 0, כל שפה היא ציקלוס, כלומר התמונה היא תת־קבוצה של הגרעין.

קומפלקס קו־שרשרת הוא אותו רעיון, אבל הכיוון של המפות הפוך: A_{n-1} → A_n → A_{n+1}. האינדקס n נקרא דרגה או דרגה של האיבר. קומפלקס חסום הוא כזה שרק מספר סופי של דרגות אינם אפס. קיימים גם קומפלקסים חסומים מלמעלה או מלמטה, שבהם כל הדרגות מעבר לנקודה מסוימת הן אפס.

את התנאי ∂^2 = 0 נהוג לרשום בקיצור. חבורת השפות והציקלוסים משמשות לבניית חבורות הומולוגיה, שהן מדד אלגברי למבנה של הקומפלקס.

קומפלקס שרשרת הוא רשימה של קבוצות שמחוברות בחצים. קבוצה כאן היא אוסף של איברים שעושים חיבור אחד עם השני.

בכל שלב יש קבוצה A_n. יש חצים שמחברים A_{n+1} ל־A_n. החצים נקראים מפות גבול. אם עוברים שני חצים ברצף תמיד מקבלים את "האיבר האפס". האיבר האפס מייצג "כלום".

יש שתי קבוצות חשובות: ציקלוסים ושפות. ציקלוס הוא איבר שהחץ ממנו מוביל לאפס. שפה הוא איבר שמגיע מחץ קודם. כל שפה גם ציקלוס, בגלל הכלל של שתי מפות ברצף.

קומפלקס קו־שרשרת הוא אותו רעיון, אבל החצים הולכים בכיוון ההפוך. קומפלקס חסום הוא כזה שבחוץ מהטווח יש רק אפסים.

החוק ששתי מפות ברצף נותנות אפס רושמים בקיצור כ־"∂∂=0", אבל אפשר להבין אותו גם במילים כפי שהוסבר.