שדה (מבנה אלגברי)

שדה הוא מבנה אלגברי: קבוצה של איברים שעליה מוגדרים חיבור וכפל.
יש לכל איבר נגדי לחיבור (־a) ולכל איבר שונה מאפס יש הופכי לכפל (a^{-1}).
כך אפשר לבצע חיסור וחלוקה בתוך השדה.

חיבור וכפל בשדה מתנהגים כמו בחיבור וכפל של מספרים רגילים.
השדה מבטיח תכונות בסיסיות כגון קומוטטיביות וסגירות של הפעולות, ואי־קיום מחלקי אפס.

השדה ‪Q‪ של השברים (מספרים שניתן לכתוב כשבר) מקיים את כל אקסיומות השדה.

השדה ‪R‪ של המספרים הממשיים דומה לרציונליים, אך יש לו תכונת "שלמות" נוספת.
תכונה זו חשובה באנליזה.

השדה ‪C‪ מורכב ממספרים בצורת a+bi, כאשר i היא היחידה המדומה.

מספרים ניתנים לבנייה הם אורכים שאפשר לבנות בסרגל ומחוגה.
הם יוצרים שדה שמכיל את הרציונליים.
הדבר מסייע להבין אילו בניות גאומטריות אפשריות, ולמה למשל אי אפשר להכפיל קובייה בעזרת סרגל ומחוגה.

יש שדות קטנים מאוד, למשל שדה בעל ארבעה איברים שמסומנים O, I, A ו־B.
תת־השדה עם שני איברים O ו־I הוא השדה הבינארי F_2, שמשמש בבסיס המחשוב (0 ו־1, XOR ו־AND).

כל שדה הוא תחום שלמות: מכפלת שני איברים לא אפס אינה אפס.
מתקיימות זהויות פשוטות כמו a·0=0 והיחס בין נגדי והופכי.

מאפיין השדה הוא המספר החיובי הקטן ביותר p כך ש־p פעמים 1 שוות 0, אם קיים.
אם אין כזה p אומרים שהמאפיין הוא 0. במאפיין p מתקיימת הזהות (a+b)^p = a^p + b^p.
זה מאפשר להגדיר את הומומורפיזם פרובניוס, המשלח x ל־x^p.

תת־שדה היא קבוצה בתוך שדה שמקיימת גם היא את אקסיומות השדה.
לכל תת־שדה P, השדה F הוא מרחב וקטורי מעל P, ולכן יש לו מימד.
אם הממד סופי, ההרחבה היא אלגברית.

שדות סופיים (שדות גלואה) הם שדות עם מספר סופי של איברים.
כל שדה סופי מכיל p^n איברים, כאשר p ראשוני ו־n מספר שלם חיובי.
קיימת רק דוגמה אחת לכל גודל כזה עד איזומורפיזם, מסומנת F_{p^n}.
שדות סופיים נבנים גם כחוגי שאריות מודולו p וגם כשדות פיצול של פולינומים.

הרעיון של שדה נבע מעבודות שונות על משוואות, תורת המספרים וגאומטריה.
לגראנז', גאוס וגלואה תרמו רבות: גלואה הקשר בין הרחבות שדה לבין סימטריות (אוטומורפיזמים) והוכיח תוצאות על אי־פתירות מסוימות של בניות ומשוואות.
מאוחר יותר דדקינד, קרונקר, וובר, שטייניץ וארטין גיבשו את ההגדרה המודרנית של שדה ותכונותיו.

חוג קומוטטיבי הוא מבנה עם חיבור וכפל, שלא תמיד מאפשר הופכים לכל איבר.
משתי שיטות אפשר לעבור מחוג לשדה: שדה השברים ושדה המנה.

משם תחום שלמות R בונים שדה שברים Q על ידי יצירת שברים a/b עם b שונה מאפס.
דוגמה קלאסית: Q נוצר מתוך Z.

באמצעות אידיאל מקסימלי במכפלת פולינומים E[X] אפשר לקבל שדה מנה E[X]/(f).
כך מוסיפים לשדה E שורש של פולינום f.
כך למשל מקבלים את C מתוך R על ידי הוספת שורש לפולינום X^2+1.

שדה הוא קבוצה של איברים עם חיבור וכפל.
אפשר לחסר ולחלק בכל איבר שאינו אפס.
(חיסור הוא חיבור עם נגדי, וחלוקה היא כפל בהופכי.)

יש שדות של מספרים שאנחנו מכירים: רציונליים, ממשיים ומרוכבים.
רציונליים הם שברים.
ממשיים כוללים גם מספרים לא־שברים.
מרוכבים הם מספרים בצורת a+bi.

יש גם שדות קטנים עם מספר איברים סופי.
השדה עם שני איברים הוא כמו 0 ו־1 במחשבים.
זה הבסיס לביטים ולפעולות לוגיות.

חוקרים בדקו אילו מספרים אפשר לבנות בסרגל ומחוגה.
מספרים שצרים כאלה נקראים ניתנים לבנייה.
לא כל המספרים ניתנים לבנייה. כך אי אפשר להכפיל קובייה בעזרת סרגל ומחוגה.

שדה יכול להיות בונה על ידי שברים של חוג.
או על ידי הוספת שורש של פולינום.
כך בונים למשל את המספרים המרוכבים מתוך הממשיים.

מתמטיקאים ידעו על תכונות אלה כבר לפני המאה ה־19.
אווריסט גלואה חקר את הסימטריות של הרחבות שדה.
תוצאותיו הראו גם מדוע לא תמיד יש נוסחה לפתור משוואות מסוימות.