שדה המספרים הניתנים לבנייה

שדה המספרים הניתנים לבנייה הוא קבוצת כל המספרים שניתן לקבל בסרגל ובמחוגה.

בתחילת התהליך נתונות רק שתי נקודות במישור, שהן המספרים 0 ו-1. הסרגל מאפשר להוריד ישר בין שתי נקודות נתונות. המחוגה מאפשרת לצייר מעגל שמרכזו נקודה נתונה ורדיוסו הוא המרחק בין שתי נקודות נתונות. ניתן להוסיף לכל אוסף נקודות גם את נקודות החיתוך של ישרים ומעגלים שנבנו. כך מתקבל אוסף נקודות S שניתן להשיג בתהליך סופי של בנייה בסרגל ובמחוגה.

מזהים את המישור עם שדה המספרים המרוכבים. S היא תת-קבוצה של המספרים המרוכבים. שדה (field) הוא אוסף שמסוגר תחת חיבור, חיסור, כפל וחילוק (חילוק מותר אלא אם המחלק הוא אפס).

אפשר להראות שתי תכונות עיקריות של S. הראשונה: מרחקים בין נקודות של S סגורים תחת חיבור, חיסור, כפל והיפוך (x הופך ל-1/x). מזה נובע ש-S סגור לחיבור ולחיסור. השלב השני מראה שבסרגל ובמחוגה אפשר לחבר ולחלק זוויות. בעזרת נוסחאות דה-מואבר זה נותן סגירות גם לכפל וחילוק.

S סגור גם להוצאת שורש ריבועי. מספיק להראות שניתן להוציא שורש ריבועי ממספרים ממשיים, וששורשים מרוכבים מתקבלים על ידי חציית זוויות.

לכן S הוא תת-השדה הקטן ביותר של המישור המרוכב שסגור תחת הוצאת שורשים ריבועיים. זהו הסגור הריבועי של המספרים הרציונליים. משמע: כל הרחבה גלואית שניתן למצוא בתוך S חייבת להיות ממעלה חזקה של 2. ולהפך, אם הרחבה סופית בתוך S, הממד שלה כחזקת 2. מכאן נובע כלל חשוב: מספרים שמינימום הפולינום שלהם אינם בעלי דרגה חזקה של 2, או מספרים שאינם אלגבריים (מספרים טרנסצנדנטיים), אינם שייכים ל-S ולכן אינם ניתנים לבנייה בסרגל ובמחוגה.

זה מסביר את חוסר היכולת העתיק לפתור מספר בעיות גאומטריות קלאסיות. אי אפשר להכפיל את הקובייה, כי הערך המבוקש יוצר שדה מממד 3. אי אפשר לחלק זווית לשלושה חלקים שווים (חציית זווית לשליש), כי הקוסינוס של 20 מעלות הוא שורש של פולינום אי-פריק מדרגה 3. אי אפשר לרבע את המעגל, כי שורש של פאי הוא מספר טרנסצנדנטי ולא ניתן לבנייה. אי אפשר לבנות משובע משוכלל, כי שורש היחידה השביעית נותן פולינום ממעלה 6, שאינו חזקה של 2.

ניתן לבנות נקודות במישור בעזרת סרגל ומחוגה בלבד. הסרגל מצייר ישרים. המחוגה מציירת מעגלים.

מתחילים משתי נקודות בלבד. אלה הן המספרים 0 ו-1. כל חיתוך של ישרים ומעגלים מוסיף נקודה חדשה. האוסף שמתקבל קוראים לו S.

S הוא אוסף שמסוגר להתקיימות הפעולות החשובות: חיבור, חיסור, כפל וחילוק. חוץ מזה אפשר להוציא שורש ריבועי מתוך מספרים שב-S. כלומר, אם מספר ב-S, יש במקרים רבים גם השורש שלו ב-S.

המשמעות היא: כל המספרים שב-S נבנים בעזרת חזרות של חיבור, כפל והוצאת שורשים ריבועיים, בהתחלה ממספרים פשוטים כמו 0 ו-1. לכן מספרים שצריכים שורשים אחרים, או מספרים מיוחדים מאוד, לא תמיד ניתנים לבנייה.

מכאן אפשר להוכיח למה כמה בעיות עתיקות אי אפשר לפתור בסרגל ובמחוגה. אי אפשר להכפיל קובייה, כי צריך שורש שהוא שליש ממעלה אחת. אי אפשר לחלק זווית לשלוש פעמים שוות, כי זה דורש פתרון של משוואה מיוחדת שאי אפשר לקבל רק עם שורשים ריבועיים. אי אפשר לרבע את המעגל, כי הדברים שקשורים לפאי הם מיוחדים מאוד ולא ניתנים לבנייה כזו. אי אפשר לבנות משובע מושלם, כי זה דורש מספרים שהדרגה שלהם לא חזקה של שתיים.