שדה המספרים הרציונליים

שדה המספרים הרציונליים (השדה הרציונלי) הוא קבוצת כל השברים, למשל 7/4, -3/14, 6/1, עם פעולות החיבור והכפל הרגילות. מסמנים אותו ב-Q, ראשית המילה Quotient (מנה באנגלית).

זהו שדה: אפשר לחבר, להכפיל, ולהפוך מספרים שאינם אפס, והפעולות מקיימות את אקסיומות השדה (אסוציאטיביות, קומוטטיביות, ניטרלים וכו'). Q הוא השדה הקטן ביותר שמאפיין אפס. משמעות הדבר: בכל שדה שבו המספרים הטבעיים אינם מתאחדים יש עותק של Q.

כשהרחבה של Q היא מממד סופי, כל האיברים בה הם אלגבריים מעל Q (כלומר הם שורשים של פולינומים עם מקדמים ברציונלים). שדות כאלה נקראים שדות מספרים.

Q נבנה פורמלית כשדה השברים של חוג השלמים Z. הוא גם תת-שדה של השדה הממשי R, וצפוף בו, כלומר בין שני ממשיים כלשהם תמיד אפשר למצוא רציונלי. כמו שהרציונליים הם מנייה (אפשר לרשום אותם), כך השדה הממשי הוא מרחב ספרבילי.

מגדירים יחס שקילות על הזוגות (a,b) עם a שלם ו-b שלם שונה מאפס: (a,b) שקול ל-(c,d) אם ורק אם ad = bc. מחלקת השקילות של (a,b) נייצג כ-a/b. את פעולות החיבור והכפל מגדירים כך: חיבור של a/b ו-c/d הוא (ad+bc)/bd, וכפל הוא (ac)/bd.

צריך לבדוק שהפעולות "מוגדרות היטב", כלומר התוצאה אינה תלויה בבחירת הנציגים של מחלקת השקילות. לאחר מכן בודקים שאקסיומות השדה מתקיימות, ושהסדר בטבעי נקבע על ידי הצגת המכנה כחיובי והשוואת המכפלות החוצות.

שדה המספרים הרציונליים, שנקרא Q, כולל את כל השברים. שבר הוא מספר כמו 7/4. 7 הוא המכנה? התנצלות: 7 הוא המונה ו-4 הוא המכנה. כלומר חלקים של משהו.

בשדה הזה אפשר לחבר, להכפיל ולחלק (חוץ בחלוקה באפס). למשל 1/2 שווה ל-2/4. זה אומר ששני שברים יכולים להיות אותו הדבר.

מייצרים את הרציונליים מתוך זוגות של מספרים שלמים. כדי לחבר שני שברים עושים למכנים משותף. כדי לכפול כופלים את המונים ואת המכנים.

הרציונליים נמצאים בתוך המספרים הממשיים. הם "צפופים" שם: בין שני מספרים תמיד נמצא רציונלי. אפשר גם לסדר אותם ברשימה (להמינם).

מייצגים שבר כ-(a,b) כשה-b לא אפס. שתי זוגות מייצגים את אותו השבר אם הם נותנים את אותו חלק. חיבור וכפל מוגדרים כך שאם משנים את הייצוג, התוצאה לא משתנה.