כפל
כפל הוא דרך להוסיף מספרים חזרה שוב ושוב. למשל, 4 כפול 3 זה 3+3+3+3 ושווה 12. זה אומר לקחת ארבע קבוצות של שלוש פריטים. כפל עוזר למדוד שטחים ונפחים. שטח מלבן זה אורך כפול רוחב. נפח קופסה זה אורך כפול רוחב כפול גובה. כפל כותבים בדרך כלל עם × או נקודה ·. במחשבים כותבים * כי אין סימן × במקלדת. סימן ג...
כפל מטריצות
כפל מטריצות עושה מטריצה חדשה משתי מטריצות. מטריצה היא טבלה של מספרים. הכפל מוגדר רק אם עמודות של הראשונה שוות בשכירן לשורות של השנייה. כפל מטריצות מייצג הרכבה של פעולות שמופעלות על וקטורים. הוא לא תמיד סימטרי, כלומר AB לא תמיד שווה ל-BA. הוא שומר על חוקים כמו חיבור ואסוציאציה. כאשר מטריצה A בגו...
כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה
כלל לייבניץ נקרא גם כלל המכפלה. הוא עוזר למצוא את הנגזרת של מכפלת פונקציות. נגזרת היא מדד לשינוי. הכלל הפשוט: (f·g)' = f' g + f g' זה אומר: נגזרים פעם אחת את הפונקציה הראשונה ומשאירים את השנייה, ואז נחבר את זה עם ההיפך. ממחשבים את הגבול שמגדיר נגזרת. מפצלים את ההפרש לשתי חלקים. כל חלק נותן אחד מהח...
מכפלה מעורבת
מכפלה מעורבת היא פעולה על שלושה וקטורים במרחב תלת־ממדי. וקטור הוא כיוון וגודל. רשום אותה כך: a·(b×c). כאן "·" זו מכפלה סקלרית. סקלר זה מספר. "×" זו מכפלה וקטורית. היא נותנת וקטור חדש שניצב לשני המקוריים. התוצאה היא מספר. הגודל של המספר הוא הנפח של צורה הנקראת מקבילון. מקבילון זה דומה לקופסה נטויה ש...
מכפלת מסיסות
מכפלת המסיסות היא הדרך למדוד כמה יונים יש במים. יון הוא אטום עם מטען חשמלי. מים עוזרים לפרק מלח כי הם דיפולים. דיפול הוא מולקולה שיש צד חיובי וצד שלילי. הצד החיובי מושך יונים שליליים וההפך. מלח, כמו מלח שולחן, נוצר מיון חיובי ואיון שלילי. כשהמלח מתפרק, היונים נשארים במים. קבוע המסיסות, Ksp, אומר...
האדם המשוכפל
האדם המשוכפל הוא ספר של ז'וזה סאראמאגו משנת 2002. הגיבור נקרא טרטוליאנו מאסימו אפונסו. הוא מורה להיסטוריה. מורה זה אדם שמלמד על העבר. טרטוליאנו חש עצב קל. הוא שוכר סרט לראות. בסרט הוא רואה שחקן משנה. שחקן משנה הוא שחקן קטן בסרט. השחקן נראה בדיוק כמוהו, כמו כפיל. הגילוי משנה את חייהם של שניהם. הספר...
אמנה למניעת כפל מס
אמנה למניעת כפל-מס היא הסכם בין שתי מדינות. ההסכם עוזר שלא ישלמו מס פעמיים על אותה הכנסה. כפל-מס פירושו תשלום מס פעמיים. נישום זה מי שמשלם מס. בגלל שיש מסחר ותנועת אנשים בעולם, צריך לחלק מי צריך לגבות מס. ללא אמנה, מי שמשלם עלול לשלם פעמיים. דוגמה: חברה בישראל שילמה ריבית לאדם שמתגורר באנגליה. או...
ארכפלוס
ארכפּלוס (נקראת גם +ARC או ArcPlus) היא תוכנה לשרטוט ותכנון. היא נוצרה בישראל ב־1984. המפתחים הם טוב סטריקובסקי (אדריכל) ואבנר קוטלר (מהנדס תוכנה). הגרסה האחרונה היא ARC+ X10 מ־2017. התוכנה מאפשרת להכין שרטוטים דו־ממדיים ולהפוך אותם למודלים תלת־ממדיים. תלת־ממד = תמונה של מבנה עם עומק וגובה. יש לה ת...
מכפלת יתד
מכפלת יתד היא חוק שמחבר שני איברים במרחב וקטורי ליצירת משהו חדש. היא ביליניארית, כלומר מתנהגת בצורה מסודרת כשמוסיפים או מכפילים את הקלטים. היא גם אנטי-סימטרית: החלפת הסדר משנה את התוצאה והופכת אותה. בגאומטריה משתמשים בה כדי לבנות תבניות אנטי-סימטריות מתוך חד-תבניות. בדוגמה בתלת-ממד, שילוב של שלוש יח...
מכפלה קרטזית
מכפלה קרטזית יוצרת קבוצה של זוגות. בכל זוג, האיבר הראשון מגיע מקבוצה אחת. האיבר השני מגיע מקבוצה שנייה. זוג כזה נקרא "זוג סדור" כי הסדר חשוב. אם יש 13 דירוגים של קלפים ו‑4 סוגים (♠,♥,♦,♣), אז כל צירוף של דירוג וסוג יוצר קלף. כל הצירופים יחד הם 52 קלפים. אם יש כמה קבוצות, ממש כמו רשימה של תיבות, כל...
לוח הכפל
לוח הכפל הוא טבלה שמראה מה קורה כשמכפילים מספרים. כפל משמעותו חיבור של אותו מספר כמה פעמים. הנמצא העתיק בבבל הוא בן כ־4,000 שנה, אבל הוא לא היה על בסיס עשר. הלוח העשרוני העתיק ביותר נמצא בסין על רצועות במבוק משנת 305 לפני הספירה. אנשים גם קוראים ללוח לפעמים "לוח פיתגורס" על שם המתמטיקאי היווני פיתג...
טבח מערת המכפלה
ב־25 בפברואר 1994, בחברון, קרה אירוע קשה במערת המכפלה. איש בשם ברוך גולדשטיין, שהיה רופא, ירה במתפללים. 29 אנשים נהרגו. כ־125 אנשים נפצעו. המערה היא מקום קדוש, שבו מתפללים יהודים ומוסלמים. גולדשטיין היה חבר בתנועת כך. תנועת כך היא קבוצה פוליטית קיצונית. הטבח גרם למהומות וכאב רב. המערה נסגרה לכנ...
מכפלה וקטורית
מכפלה וקטורית היא פעולה על שני וקטורים בתלת־ממד. התוצאה היא וקטור. הווקטור החדש עומד מאונך לשניהם. הגודל של הווקטור החדש שווה לאורך של הראשון כפול אורך של השני, וכפול סינוס של הזווית ביניהם. "אורך" הוא כמה הווקטור ארוך. "סינוס" היא דרך למדוד כמה הזווית בין הווקטורים. אם הווקטורים מקבילים, התוצאה ה...
מכפלה סקלרית
מכפלה סקלרית היא דרך להשיג מספר משני חיצים (וקטורים). וקטור הוא חץ עם כיוון ואורך. התוצאה היא מספר אחד. יש שתי דרכים להביט על זה: דרך הצורה של החצים ודרך הרשימות של המספרים שלהם. המכפלה תלויה באורכים של שני החיצים ובזווית ביניהם. אם החיצים באותו כיוון התוצאה גדולה וחיובית. אם הם ניצבים זו לזו הת...
מרחב מכפלה
מרחב מכפלה נוצר ממרחבים שונים על ידי שילוב שלהם לנקודות עם כמה רכיבים. טופולוגיית המכפלה היא אוסף הקבוצות הפתוחות שבו. הטלה היא פונקציה שמוציאה את אחד הרכיבים של נקודה במכפלה. קבוצת גלילית היא קבוצה שפתוחה ברכיב אחד וכוללת את כל הרכיבים האחרים. הבסיס לטופולוגיה מקבלים מחיתוכים סופיים של קבוצות גלי...
מרחב מכפלה פנימית
זוהי דרך לחבר שני וקטורים. וקטור הוא סדרה של מספרים, כמו (x1,x2,x3). מכפלה זו לוקחת שני וקטורים ומחזירה מספר. לדוגמה, לוקטורים בשלוש מידות: \lang (x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3) \rang = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3. זה נקרא "מכפלה סקלרית". היא עוזרת למדוד אורך וזווית. אורך של וקטור מחושב כך: \|x...
הופכי כפלי מודולרי
הופכי כפל מודולרי הוא מספר שמכפיל מספר אחר ונותן שארית 1 אחרי חלוקה ב־n. מודולו אומר שאנו מתמקדים בשארית אחרי החלוקה. לדוגמה, במודולו 9 ההופכי של 2 הוא 5. כי 2 כפול 5 שווה 10, ואחרי חלוקה ב־9 נשארת שארית 1. לכן לחלק 3 ב־2 במודולו 9 משמעותו להכפיל 3 ב־5. אם נכפיל את התוצאה ב־2 שוב, מקבלים חזרה את 3....
שדה גלובלי
שדה גלובלי הוא שדה שבו עובדת נוסחת המכפלה. אמיל ארטין ו- C. Nesbitt הראו ששדות כאלה שייכים לשתי קבוצות עיקריות. להשלמות של שדות אלה יש מבנה נומרי מיוחד שמכונה שדה מקומי (שדה עם רעיון של קרבה). נוסחת המכפלה אומרת: בוחרים מדדים של גודל לכל מקום בשדה, וכשכופלים את כל הגדלים של מספר x שאינו אפס מקבלי...
המישור המרוכב
מישור המספרים המרוכבים הוא שטח דו־ממדי. שם מציגים מספרים מרוכבים. מספר מרוכב הוא מספר עם שני חלקים: חלק ממשי וחלק מדומה. החלק המדומה מכיל את האות i. כל מספר מרוכב קשור לנקודה במישור. האופקי מייצג את החלק הממשי. האנכי מייצג את החלק המדומה. אפשר גם להציג מספרים לפי מרחק וזווית. המרחק הוא כמה רחוקה...
תחנת הרכבת חיפה, חוף הכרמל
תחנת הרכבת חיפה, חוף הכרמל עומדת על מסילת החוף בדרום‑מערב חיפה. היא קרובה לחוף דדו, לאצטדיון סמי עופר ולמרכז האוטובוסים הגדול בעיר. מעל התחנה פועל משוא"ה (מרכז שליטה ובקרה). התחנה נקראת על שם שאול רזיאל. פעם עמדה כאן תחנה ישנה בשם כפר סמיר. אחרי כמה שנים התחנה הישנה שולבה בתחנה החדשה. בניית התחנה ...
הצפנה מבוססת עקום אליפטי
הצפנה בעקום אליפטי היא דרך להצפין מידע. עקום אליפטי הוא צורה מתמטית שנראית כמו עקומה מיוחדת. השיטה משתמשת בנקודות על העקום. הרעיון הופיע בשנות ה-80. מאז חוקרים משתמשים בו כדי לשמור סודות במחשבים וטלפונים. עקום אליפטי מוגדר על ידי משוואה. הנקודות שעונות עליה יוצרות קבוצה שאפשר לחבר ביניהן. יש נקודה...
סגירות (אלגברה)
קבוצה היא אוסף של דברים. היא "סגורה" תחת פעולה כאשר הפעולה שנותנת תמיד דבר מהאוסף. פעולה היא חוק שעושה משהו לשני איברים ומחזיר איבר חדש. דוגמאות לפעולות: חיבור וכפל. מספרים שלמים חיוביים סגורים לחיבור ולכפל. זה אומר: חיבור או כפל של שני מספרים חיוביים נותן שוב מספר חיובי. הם לא סגורים לחיסור ולחיל...
סרגל חישוב
סרגל חישוב הוא כלי עזר לחישובים. זה לא סרגל למדידת אורך. יש בו קווים עם מספרים שנקראים סקאלות. סקאלה, קו עם מספרים. סרגל כזה מזיזים כדי למצוא תוצאות של כפל וחילוק. הסרגל עובד עם סקאלות לוגריתמיות. לוגריתם, דרך מיוחדת להקטין מספרים גדולים. כאשר מזיזים את הרצועה, מספרים מסתדרים זה ליד זה ומקבלים את...
עצמות נייפייר
עצמות נייפייר הן ערכת חישוב ישנה שעוזרת בכפל וחילוק. הממציא שלה הוא ג'ון נייפייר. הוא פרסם את ההמצאה ב-1617. הן בנובות של מקלות עץ (מוטות). על כל מקל חרוט לוח קטן עם תוצאות כפל. כשמסדרים כמה מקלות בצד הם מראים מכפלות של מספרים. קוראים את המספרים על האלכסונים ומחברים אותם כדי לקבל את התשובה. כדי לכ...
התיקון החמישי לחוקת ארצות הברית
התיקון החמישי הוא כלל חשוב בחוקת ארצות הברית. הוא עוזר להגן על אנשים מפני חוקים או פעולות לא צודקות. התיקון אומר שאי אפשר לעצור מישהו ולהביאו לבית משפט בלי כתב אישום. הוא מגן על הזכות לשתוק, כלומר לא לענות אם זה יפליל. אף אחד לא יכול להעניש מישהו פעמיים על אותה עבירה. גם אי אפשר לקחת את הרכוש של מ...
קיפול נייר לשניים
קיפול דף לשניים שוב ושוב ממחיש משהו שנקרא גידול מעריכי. כלומר, בכל קיפול העובי מוכפל. קשה לקפל דף רגיל יותר מ־6, 8 פעמים. אם משתמשים בנייר גדול או דק מאוד, אפשר לקפל יותר פעמים. בשנת 2001 תלמידה בשם בריטני גאליוון הראתה איך לחשב כמה קיפולים אפשר לעשות. היא כתבה נוסחה שמקשרת בין עובי הנייר, מספר ה...
שרית סרי
שרית ברוך-סרי נולדה ב-14 באוקטובר 1961. היא עושה מופעי בדיחות על הבמה. היא גם נותנת קול לדמויות בסדרות ובסרטים. זאת אומרת שהיא מדבבת. שרה בתל אביב. עכשיו היא גרה בתל אביב. היא שירתה בלהקת בידור של חיל האוויר. הייתה נשואה וממלאת משפחה. אחת מבנותיה מתה בתאונה כשהייתה מאוד קטנה. הבת השנייה, גל, היא שח...
אריתמטיקה של גבולות
גבול זה הערך שאליו פונקציה מתקרבת. אם לשתי פונקציות יש גבול בנקודה x0, אז: הגבול של סכום הוא סכום הגבולות. הגבול של מכפלה הוא מכפלת הגבולות. אם מכפילים בפונקציה קבועה α, הגבול מוכפל ב-α. הגבול של הפרש הוא הפרש הגבולות. הגבול של מנה שווה למנה של הגבולות רק אם המכנה לא נוטה לאפס. אם פונקציה אחת ג...
יהודה גור-אריה
יהודה גור-אריה נולד ב-16 בפברואר 1934. הוא משורר ומתורגם. ניצול השואה (אדם ששרד רדיפות בזמן מלחמה). הוא נולד בבסרביה, היום מולדובה. כשהיה קטן הגורש למחנה ריכוז רומני בטרנסניסטריה. שהה שם שלוש וחצי שנים. כשהיה נער עלה לישראל. חי בגבעת שמואל. למד ספרות באוניברסיטת תל אביב. עבד כעורך במדור הספרותי ש...
שדה שברים
שדה השברים בונים מתוך חוג מיוחד שנקרא תחום שלמות. תחום שלמות הוא חוג שבו אם מכפילים שני איברים והתוצאה אפס, אז אחד מהם אפס. מורידים לכל איבר שאינו אפס את ההפכי שלו. ההפכי הוא מספר שמכפיל את האיבר ונותן אחד. כך נוצרים שברים כמו "a חלקי b". כפל שברים: מכפילים את המונים ואת המכנים. חיבור שברים: מבי...
חוק התכנון והבנייה
חוק התכנון והבנייה מסדיר איך נבנים בניינים ודרכים בישראל. החוק עוסק בתוכניות, שימור אתרים ונגישות לאנשים עם מוגבלות. יש בחוק רשימה של מעשים לא חוקיים בבנייה. מי שבנה בלי אישור עלול לקבל עונש. אם בנו בלי היתר, אפשר לשלם קנס גדול. הקנס יכול להיות כפול משווי המבנה שבנו ללא היתר. "צו הפסקה מנהלי", פ...
קבר אבנר בן נר
אתר קבר אבנר בן נר נמצא בעיר חברון, ליד מערת המכפלה. יש שם מבנה עם חדרים סביב חצר ושער בסגנון עתיק. אבנר בן נר היה שר צבא של שאול. שר צבא זהו מפקד בצבא. אחרי שאול מת, אבנר תמך באיש בושת, בנו של שאול. אחר כך אבנר בא אל דוד כדי להעביר לו את המלוכה. יואב הרג את אבנר אחרי מריבה. דוד דאג שקברו יהיה מכוב...
פרמננטה
פרמננטה היא מספר שמחשב ממטריצה. מטריצה היא טבלה של מספרים. בפרמננטה לוקחים כל סידור של העמודות. עבור כל סידור עושים מכפלה של איברים מתאימים, ואז מחברים את כל המכפלות. אם כל המספרים במטריצה הם חיוביים, גם הפרמננטה חיובית. הפרמננטה הומצאה לראשונה ב-1812 על ידי אוגוסטן לואי קושי. משתמשים בפרמננטה בספי...
הגונב אחר הגנב
הדין אומר: מי שגנב חפץ מאדם שגנב קודם צריך לשלם את מחיר החפץ. מחיר החפץ נקרא קרן. הוא לא צריך לשלם את הקנס הכפול. הקנס הכפול זה תשלום כפול שמענישים בו גנב רגיל. הדין נמצא במשנה. פרשים כמו רש"י והמאירי מסבירים למה הפטור מהכפל קיים. "חיוב אונסים" הוא תשלום אם קרה נזק לחפץ שלא תלוי בגנב. יש שאמרו ...
משפט טרסקי
אלפרד טרסקי גילה משפט שמקושר לאקסיומת הבחירה. אקסיומת הבחירה אומרת שאפשר לבחור פריט אחד מכל קבוצה במשפחה של קבוצות. טרסקי הראה שאם לכל קבוצה אינסופית מספר האיברים שלה שווה למספר האיברים בזוגות שלה (A×A), אז אפשר להוכיח את אקסיומת הבחירה. כשטרסקי שלח את המאמר לפרסום, שני מתמטיקאים מפורסמים דחו אותו...
מטריצה אלכסונית
מטריצה אלכסונית היא טבלה של מספרים. רק המספרים על האלכסון הראשי יכולים להיות לא אפס. האלכסון הראשי מתחיל בפינה שמאלית-עליונה ונגמר בפינה ימנית-תחתונה. דוגמה פשוטה של מטריצה כזו: [1 0 0] [0 4 0] [0 0 -3] [0 0 0] כשהכל על האלכסון זהה, קוראים לזה מטריצה סקלרית. "סקלרית" פה אומר שכל הערכים על האלכסון ...
הגיית האיטלקית
האיטלקית נוחה להיגוי. בדרך כלל מדברים אותה כמו כותבים. יש חמש תנועות: a, e, i, o, u. תנועה היא צליל כמו a או e. e ו‑o לפעמים נשמעות פתוחות יותר כשהן על ההברה עם הדגש. אז יש בפועל שבע צלילים. כפלות של אות משנות משמעות. דוגמאות קטנות: Bela (פואָה) / Bella (יפה) Caro (יקר) / Carro (עגלָה) יש שלושה ס...
טאוטולוגיה (ספרות)
טאוטולוגיה (כפל לשון, חזרה על אותו רעיון במילים שונות). זה נמצא בשירה ובסיפורים. דוגמה ידועה: "ורד הוא ורד הוא ורד". יש גם חזרות שנאמרות אחרת, כמו "פחם שחור". טאוטולוגיה שונה מאליטרציה (חזרה על צליל דומה במילים שונות). אנשים משתמשים בטאוטולוגיה כדי להדגיש רעיון. לפעמים זה קורה גם בנאומים....
פונקציה פרימיטיבית רקורסיבית
פונקציה היא חוק שמקבל מספרים ומחזיר מספר. פונקציה פרימיטיבית רקורסיבית בונים משתי פעולות פשוטות וחוקים שחוזרים על עצמם. הפונקציות הפשוטות הן: אפס (מחזירה 0), העוקב (מוסיף 1), ובחירת רכיב (מחזירה אחד מהמספרים שהכנסת). חיבור של מספרים נוצר כך: אם מוסיפים 1 שוב ושוב מגיעים לתוצאה. לכן חיבור הוא פונ...
תבנית:ו או וו
לפעמים כותבים את האות ו׳ פעמיים באמצע המילה. ו׳ עיצורית זה ו׳ שמייצרת צליל. לא מכפילים את ו׳ בתחילת המילה או בסופה. דוגמאות: ויקיפדיה, ורד. אם לפני ו׳ בתחילת מילה יש אות חיבור מיוחדת, לפעמים כותבים שתי ו׳. דוגמה: בוויקיפדיה. אם אחרי ו׳ יש צליל O או U, כותבים שתי ו׳. דוגמה: וושינגטון....
התלכדות עיצורים
התלכדות עיצורים פירושה שאוזן שומעת שני עיצורים זהים רצופים. דגש חזק הוא סימן שמראה שהעיצור נשמע כפול. דגש משלים הוא דגש שאינו נובע מהשורש של המילה. בעברית החדשה לא תמיד שומעים הכפלה כזאת. החוקרים עדיין משתמשים ברעיונות מהעברית הקלאסית כדי להסביר את זה. במחשבה פשוטה מדמיינים שתי אותיות נפרדות שמתלכ...
דגש חזק
דגש חזק (מכפל) הוא סימן בעברית שמראה שיש להכפיל אות. זה נכתב כנקודה בתוך האות. אין דגש חזק באותיות א, ה, ח, ע, ר. כשיש דגש חזק, מבטאים את האות זמן ארוך יותר. באותיות ב, ג, ד, כ/ק, פ, ת הוא גם נשמע חזק יותר. לפעמים דגש בסוף מילה נשאר חזק גם אם יש לידו שווא. שווא הוא סימן ניקוד שמייצר קול קצר. גם...
תבנית:ערך מומלץ 28 באוגוסט 2005
יש ארבע פעולות חשבון חשובות. משתמשים בהן כל יום. לומדים אותן בבית הספר. הפעולות הן חיבור, חיסור, כפל וחילוק. כל פעולה עובדת על שני מספרים. זאת אומרת לוקחים שני מספרים ועושים איתם פעולה....
חוג המספרים השלמים
חוג המספרים השלמים הוא קבוצת כל המספרים ...,-2,-1,0,1,2,... . חוג הוא קבוצה שבה עושים חיבור וכפל, והתשובה נשארת בקבוצה. אפשר לבנות את השלמים מהמספרים הטבעיים. מספרים טבעיים הם 1,2,3,... . כשמורידים את הגבול הזה מקבלים גם את השלילים ואת האפס. אם מסתכלים רק על החיבור, השלמים יוצרים חבורה. חבורה היא ...
משפט טיכונוף
משפט טיכונוב אומר: אם כל אחד מהמרחבים בקבוצה הוא קומפקטי, אז גם המרחב שמורכב מהם יחד (המכפלה) קומפקטי. קומפקטיות פירושה: כל כיסוי של המרחב על ידי קבוצות פתוחות ניתן לכסות בעזרת מספר סופי מהן (כלומר לא צריך אינסוף קבוצות). טיכונוב הוכיח את זה בתחילת המאה ה־20. אחת ההוכחות מסתכלת על קבוצות פתוחות שמ...
מרחב רגולרי
מרחב רגולרי הוא מרחב טופולוגי. מרחב טופולוגי הוא קבוצת נקודות עם רעיון של סביבות. הוא רגולרי אם כל פעם שיש נקודה מחוץ לקבוצה סגורה, אפשר למצוא שתי סביבות פתוחות שלא נוגעות זו בזו. סגורה, כלומר היא כוללת את הגבול שלה. אם בנוסף כל נקודה היא סגורה, קוראים למרחב T3. עוד דרך להגיד זאת: אם נקודה בתוך ק...
אריתמטיקה
אריתמטיקה פירושה חשבון ומדברת על מספרים וחישובים. היא עוזרת לנו בחיי היומיום, כמו בלחישוב כסף ובבישול. אנשים למדו לספור לפני הרבה זמן. המצרים והבבלים פיתחו דרכים לספור ולחשב. הבבלים השתמשו בבסיס 60, ולכן יש 60 שניות בדקה. היוונים חשבו הרבה על עקרונות המספרים. המאיה המציאו את הספרה 0 (אפס). ההודים פ...
הולכת קולות
הולכת הקולות היא איך קולות שונים נעים ביחד במוזיקה. זה חלק מהרמוניה. החוקים לכך התפתחו ברנסאנס והמשיכו עד למוזיקה הקלאסית. בדרך כלל לא עושים תנועות מקבילות, שבהן שני קולות זזים באותו מרחק. זה נשמע קשה. כמה פעמים מלחינים גדולים, כמו באך, עשו זאת וטשטשו את זה. במוצרט יש אפילו בדיחה מוזיקלית שמשתמשת...
שדה המספרים הרציונליים
שדה המספרים הרציונליים, שנקרא Q, כולל את כל השברים. שבר הוא מספר כמו 7/4. 7 הוא המכנה? התנצלות: 7 הוא המונה ו-4 הוא המכנה. כלומר חלקים של משהו. בשדה הזה אפשר לחבר, להכפיל ולחלק (חוץ בחלוקה באפס). למשל 1/2 שווה ל-2/4. זה אומר ששני שברים יכולים להיות אותו הדבר. מייצרים את הרציונליים מתוך זוגות של מס...
זוג סדור
זוג סדור הוא שני פריטים עם סדר. כותבים (a,b). הפריט הראשון הוא ראשון והשני הוא שני. אפשר שגם יהיו זהים. שני זוגות סדורים שווים רק אם גם הראשון בשניהם שווה וגם השני שווה. למשל (a,b) = (c,d) רק אם a=c ו-b=d. בקבוצות הסדר לא חשוב. למשל { a,b } שווה ל{ b,a }. המכפלה הקרטזית של קבוצות A ו-B היא כל הזו...