שלשה פיתגורית

שלשה פיתגורית היא שלשה של מספרים טבעיים (a,b,c) שמקיימת a^2+b^2=c^2. לפי משפט פיתגורס, אם שלשה כזו מהווה צלעות של משולש, המשולש הוא ישר-זווית. משולש עם זווית של 90 מעלות נקרא משולש ישר-זווית. השלשה המוכרת והקטנה ביותר היא (3,4,5). ידוע שהמצרים הקדמונים והבבלים הכירו מספר שלשות כאלה.

ניתן לבנות אינסוף שלשות פיתגוריות בעזרת שני מספרים טבעיים m,n באמצעות הנוסחה: a=m^2-n^2, b=2mn, c=m^2+n^2. חישוב קצר מראה שהמשוואה מתקיימת. לוח פלימפטון (בבלים) מכיל דוגמאות כאלה, למשל את המשוואה 1771^2+2700^2=3229^2, שניתן לקבל עם m=50 ו-n=27.

אם נבחר m=n+1 מקבלים שלשות שבהן a הוא מספר אי-זוגי, ומכאן יש אינסוף שלשות פרימיטיביות. שלשה פרימיטיבית היא שלשה שאי-אפשר לקבל אותה כמכפלה של שלשה אחרת בקבוע שלם גדול מ-1. זאת שקול לכך ש-gcd(a,b,c)=1. משמעות הדבר היא שאין מספר שלם גדול מ-1 שמחלק את כל שלושת האיברים יחד.

כל שלשה פיתגורית ניתנת להצגה כללית על־ידי a=(m^2-n^2)k, b=2mnk, c=(m^2+n^2)k, כאשר m,n זרים (כלומר אין מחלק משותף חוץ מ-1) ובעלי זוגיות שונה (אחד זוגי והשני אי-זוגי). המשתנה k הוא המחלק המשותף המקסימלי של השלשה.

קיים המרה פשוטה שאומרת שאפשר להחליף את (a,b,c) בשלשה (n1,n2,n3) שבה n1=c-b, n2=c-a, n3=a+b-c. המשוואה שנוצרה נוחה יותר לפתרון: n3^2=2n1n2. מהשיטה הזו נבנה עץ טרנארי שבו לכל שלשה פרימיטיבית יש שלושה בנים, ובאופן זה אפשר לייצר את כל השלשות הפרימיטיביות.

יש נוסח מתמטי חזק שאומר שכל שלשה פיתגורית פרימיטיבית מתקבלת מ-(3,4,5) על ידי הכפלה במספר סופי של מטריצות מסוימות. זו דרך אלגברית לייצר את כל השלשות הפרימיטיביות מדגם יחיד.

פרמה הוכיח שאין שלשות פיתגוריות שבהן a ו-b שניהם ריבועים שלמים. יש שלשות בעלות תכונות מיוחדות, למשל שלשות שבהן a ו-b עוקבים. עבור אלה קיימת נוסחה המבוססת על חזקות של (1+√2). דוגמאות ידועות נוספות: (20,21,29), (119,120,169), (696,697,985).

יש עוד תכונות אריתמטיות לגבי חלוקות ב-3,4,5 ועוד. למשל, בדיוק אחד מ-a,b מתחלק ב-3, ואחד מהם מתחלק ב-4; גורמים ראשוניים של c חייבים להיות מהצורה 4k+1. כמו כן, מספר השלשות הפרימיטיביות שבהן b נתון קשור למספר הגורמים הראשוניים השונים של b.

שלשה פיתגורית היא שלוש מספרים טבעיים a,b,c שמקיימים a^2+b^2=c^2. "בריבוע" זה אומר כפל של מספר בעצמו. שלשות כאלה קשורות למשולש ישר-זווית. משולש עם זווית של 90 מעלות נקרא כזה.

השלשה המפורסמת היא (3,4,5). אותה שלשה ידועה כבר במקורות ישנים. אם מכפילים את כל שלושת המספרים במספר שלם k מקבלים שלשה חדשה. שלשה שאי-אפשר להקטין כך נקראת פרימיטיבית. פירוש פרימיטיבית: אין מספר שלם גדול מ-1 שמחלק את כל שלושת המספרים.

יש נוסחה פשוטה לבנות שלשות חדשות: קחו שני מספרים טבעיים m,n. חשבו a=m^2-n^2, b=2mn, c=m^2+n^2. לדוגמה, m=2 ו-n=1 נותנים את (3,4,5). כך אפשר למצוא אינסוף שלשות.

יש גם שיטות שמארגנות את כל השלשות בעץ. כל שלשה יכולה "להביא" שלוש שלשות חדשות. יש דוגמאות רבות נוספות, כמו (20,21,29).