תורת ההפרעות (מכניקת הקוונטים)

תורת ההפרעות היא שיטה במכניקת הקוונטים לפתרון מקורב של בעיות קשות. הרעיון המרכזי הוא לפרק את ההמילטוניאן, שהוא האופרטור שמתאר את האנרגיה של המערכת, לשני חלקים: המילטוניאן בסיסי H_0 שפתרונותיו (מצבים עצמיים, מצבים עם אנרגיה קבועה) ידועים, והפרעה קטנה λV שמפריעה למערכת. מכיוון שההפרעה קטנה (λ≪1), אפשר לבנות פתרון של ההמילטוניאן הכולל כסדרה של תיקונים לסדרים שונים. כך האנרגיות והמצבים נכתבים כסכום של רכיבים: ערך עצמאי בסיסי ועוד תיקונים סדר-ראשון, סדר-שני וכו'.

ניתן לכתוב H=H_0+λV. הפתרונות של H_0 מספקים בסיס להצגת התיקונים. התיקונים לסדר ראשון ושני באנרגיה ובמצבים מאפשרים קירוב נכון כל עוד אין בעיות מיוחדות כמו ניוון.

כאשר לרמות האנרגיה של H_0 אין ניוון (כל רמה ייחודית), יש נוסחאות פשוטות לתיקונים. התיקון הראשון לאנרגיה הוא הממוצע של V על אותו מצב עצמי. התיקון השני הוא סכום שאינו תלוי בשורת הזמן, והוא כולל מכנים של הפרשי אנרגיות בין רמות שונות. גם התיקון למצב העצמי מסדר ראשון ניתן לכתוב כסכום של תרומות מרמות אחרות.

כשיש ניוון (כמה מצבים עם אותה אנרגיה), המכנים בנוסחאות עלולים להתאפס. במצב זה מבצעים הפרדה אל תוך תת־מרחב של המצבים המנוונים ומייצגים את ההפרעה כמטריצה בגודל k×k. פירוק זו נותן k אנרגיות מתוקנות ומצבים מתוקנים שנקבעים על ידי ערכי ווקטורי העצמי של המטריצה V במרחב זה.

גביש חד־ממדי עם פוטנציאל מחזורי V(x) משפיע מעט על אלקטרונים חופשיים. במודל זה H_0 הוא התנע הריבועי p^2/2m והמצבים הם גלי-מטען עם אנרגיה חופשית. הפוטנציאל המחזורי מתואר בטור פורייה, והתיקון השני לאנרגיה מתממש כסכום על רכיבי פורייה שונים. תוצאה זו מובילה למודל האלקטרונים כמעט-חופשיים ולתובנות על מבני אנרגיה בגבישים.

כאשר המימן נמצא בשדה חשמלי, ההמילטוניאן מקבל תוספת eEz. ברמת n=2 יש ניוון גדול, ולכן יש לפתור את תת-המרחב המנוון. רק שתי תת־רמות מתקשרות זו עם זו, והתערובת שלהן נותנת שני מצבים חדשים (סופרפוזיציות) עם אנרגיות שהוזזו ±3eEa_0. חלק מהמצבים נשארים בלתי מושפעים.

כאן ההפרעה תלויה בזמן והעניין הוא לחשב את ההסתברות למעבר ממצב התחלתי |b> למצב סופי |f>. האמפליטודה במסדר ראשון היא אינטגרל של איבר מטריצי V_{fb}(t) המוכפל בגורם פאזי e^{iω_{fb}t}. ההסתברות היא הריבוע של האמפליטודה ולפיתוח זה יש תקפות רק כאשר ההפרעה קטנה והמעבר סביר להיות נדיר.

ניתן להכניס הופעת תלות הזמן באמצעות הצגה של פונקציית הגל כמכפלה של פאזות האופייניות ל-H_0 ומקדמים תלויי-זמן c_n(t). מקבלים מערכת משוואות דיפרנציאליות שמקשרות בין המקדמים באמצעות איברי V_{nk} ותדירויות ההבדל ω_{nk}.

בתמונה הזו מעבירים את תלות הזמן שמקורה ב-H_0 לאופרטורים, וכך המקדמים c_n(t) נשארים ברקע. המשוואה הופכת ל-iħ ∂_t|ψ>_I = λ V_I(t)|ψ>_I והפתרון הרשמי הוא אופרטור קידום-זמן U_I שמובא כסדרת דייסון בסדרי λ. התיקון הראשון בסדרה הוא אינטגרל של V_I, והתיקון השני הוא אינטגרל כפול עם סדר זמנים, וכן הלאה. כל סדר מתאר מסלול מעבר עם מספר קפיצות לפי הסדר.

במקרה אדיאבטי ההפרעה משתנה לאט מאוד בזמן. אז כל מצב עצמי של H_0 “עוקב” אחרי השינוי והופך לפי סדרי תורת ההפרעות הבלתי תלויה בזמן. הפתרון כולל פאזת אינטגרל של האנרגיה בזמן.

בהפרעה מחזורית V(t)=V sin(ωt) האמפליטודה למעבר כוללת שני רכיבים: אחד שמתאים לבליעת פוטון (עלייה באנרגיה) ואחד לפליטת פוטון (ירידה באנרגיה). כאשר ω קרוב להפרש האנרגיות ω_{fb} מתקבל תופעת רזוננס. ההסתברות למעבר מוצגת כפונקציה דומה ל-sinc בריבוע, והיא מציגה פס-תדר צר שמתרחב כ-1/t. בנוסף קיימים תנאים על משך ההפרעה ועל גודל V כדי ששיטת ההפרעות תישאר תקפה.

תורת ההפרעות היא דרך לפתור בעיות בקוונטים בעזרת חלוקה לשני חלקים. החלק הראשון הוא הבעיה הקלה שפתרונותיה ידועים. החלק השני הוא הפרעה קטנה, שינוי קטן שמוסיף בעיה שנייה. כי השינוי קטן, אפשר לתקן את הפתרון במנות קטנות.

הפרעה היא שינוי קטן בפוטנציאל של המערכת. המילטוניאן הוא האופרטור שמתאר את האנרגיה. מצבים עצמיים הם מצבים עם אנרגיה קבועה. מפרקים את הבעיה לחלק עיקרי וחלק קטן, ובונים את הפתרון כתוספות בהדרגה.

אם כל רמת אנרגיה ייחודית, התיקון הראשון לאנרגיה הוא הממוצע של ההפרעה על אותו מצב. התיקון השני נובע מתרומות מרמות אחרות.

אם יש רמות עם אותה אנרגיה (ניוון), צריך לבדוק רק את התת־קבוצה הזו. במרחב זה ממקימים מטריצה של ההפרעה ופותרם אותה כדי לקבל את האנרגיות החדשות.

גביש בעל פוטנציאל מחזורי משפיע מעט על אלקטרונים חופשיים. הפוטנציאל מתואר בעזרת גלילים (פורייה). התיקונים משנים מעט את האנרגיה של האלקטרונים.

שדה חשמלי משנה את רמות האנרגיה במימן. ברמה n=2 שתי תת־רמות מתערבבות זו עם זו ויוצרות שתי תוצאות עם אנרגיות שונות. חלק מהממצבים לא משתנים.

כשההפרעה תלויה בזמן, רוצים לדעת מה ההסתברות שקוראים מעבר בין שני מצבים. יש נוסחה שאומרת שהאמפליטודה היא אינטגרל של ההפרעה בזמן מוכפל בגורם תדירות. אם התדירות חיצונית מתאימה להפרש האנרגיות, יש רזוננס, מעבר סביר יותר.

בתמונה זו מעבירים את פונקציות-הגל והופכים את הבעיה לנוחה יותר. אופרטור הקידום בזמן מתאר איך המצב משתנה עקב ההפרעה. מפתחים את האופרטור לפי סדרים ולקבלת תרומות של מעבר ב-1, 2 או יותר קפיצות.

תהליך אדיאבטי: אם ההפרעה משתנה ממש לאט, כל מצב פשוט עוקב אחרי השינוי. הפרעה מחזורית: אם ההפרעה מתנדנדת בתדירות ω, היא יכולה לגרום לבליעה או פליטה של פוטון. כשהתדירות מתאימה להפרש האנרגיות יש תגובה חזקה שנקראת רזוננס.