''e'' הוא קבוע מתמטי חשוב, בערך כ-2.718281828. הוא משמש כבסיס ללוגריתם הטבעי.
ניתן להגדיר את e בכמה דרכים שקולות: הגבול (1+1/n)^n כש-n שואף לאינסוף, הטור האינסופי Σ 1/n! והמספר x שעבורו השטח מתחת ל-1/t מ-1 עד x שווה ל-1. הפונקציה המעריכית e^x מיוחדת כי הנגזרת שלה שווה לה עצמה.
האזכור הראשון של הקבוע הופיע ב-1618 בטבלאות לוגריתמים של ג'ון נייפייר. יאקוב ברנולי בחן את הגבול (1+1/n)^n בהקשר של ריבית דריבית, ולאונרד אוילר הכניס את האות e לשימוש ב-1727. עד מהרה הפכה e לסימון המקובל במדע.
e הוא מספר אי־רציונלי, ואפילו טרנסצנדנטי. זה אומר שהוא אינו ניתן לכתיבה כשבר פשוט, ולא פותר פולינום רציונלי. לפונקציה e^x יש תכונה ייחודית: השיפוע של הגרף שלה בכל נקודה שווה לערך שלה באותה נקודה.
הפונקציה ההפוכה היא הלוגריתם הטבעי ln x. באמצעות הזהות של אוילר מתקבלת נוסחה מחברת בין e, π ו-i: e^{iθ}=cos θ + i sin θ, ומקרה מיוחד שלה הוא e^{iπ}+1=0.
הוכיחו שאי־אפשר לייצג את e כמספר רציונלי כבר במאה ה-18. מאוחר יותר, במאה ה-19, הוכח ש-e הוא טרנסצנדנטי. הוכחות אלה בונות על הייצוגים הטוריים והאנליטיים של e.
e מופיע בכל מקום שבו יש "גידול רציף" או ירידה רציפה. הוא נוכח בחישובי ריבית דריבית, בתיאור דעיכה פיזיקלית, בהתפלגויות הסתברותיות ובניתוח מערכות בטבע.
בגידול המשכי כל הכמות החדשה שנוספת ממשיכה לגדול באותו קצב. חישוב הגבול (1+1/n)^n מדגים תהליך כזה. לכן e מתאר את יחס הגידול הכולל כאשר התהליך מתבצע ברציפות.
אם מפקידים כסף בריבית של 100% לשנה והחישוב נעשה יותר ויותר פעמים במהלך השנה, הסכום הסופי שואף ל-e ככפל של הקרן. כלומר שקל אחד בריבית 100% ובריבית דריבית רציפה יניב בערך 2.71828 שקלים בסוף השנה.
בבעיות הסתברות רבות מופיע e. לדוגמה, אם סיכוי הזכייה בכל הגרלה הוא קטן ומספר ההגרלות גדול, ההסתברות שלא לזכות כלל שואפת ל-1/e^k, כאשר k הוא הערך המצטבר של הסיכונים.
עוד דוגמה: בבעיית הדוור (חלוקת מכתבים אקראית), ההסתברות שאף מכתב לא יגיע ליעדו שואפת ל-1/e.
בטבעת צפיפות של ההתפלגות הנורמלית מופיעה בעוקב הביטוי מעריכי מסוג e^{-(x-μ)^2/(2σ^2)}. לכן e חשוב בתיאור התנהגות ממוצעים ובמשפט הגבול המרכזי.
בפיזיקה ובנדסה e מתאר דעיכה בזמן, למשל מהירות או זרם שדועכים לפי נוסחה מסוג e^{-kt}. במדעי החיים משתמשים ב-e לתיאור גדילה של אוכלוסיות בתנאים של הכפלה רציפה.
נוסחת סטרלינג מניחה n!≈√(2πn)(n/e)^n עבור n גדול. השימוש ב-e מופיע בקירוב זה ובקשר לפונקציית גמא.
בייצוג הגאומטרי של מספרים מרוכבים משתמשים ב-e בצורת re^{iφ}. זה מסביר מדוע כפל מספרים מרוכבים משווה לסיבוב ולהגדלה במישור.
e פחות מפורסם מ-π, אך מופיע בתרבות המדעית. לדוגמה, מספר ההנפקה של גוגל העריך כ-2,718,281,828, וגם דונלד קנות' השתמש בגרסאות תוכנה שמתקדמות לכיוון 2.7182818.
- ערך מקורב: 2.718281828
- מופיע בהגדרות של גידול רציף, ריבית דריבית, התפלגויות הסתברותיות ודעיכה פיזיקלית
- אי־רציונלי וטרנסצנדנטי
- פונקציית e^x היא הפונקציה היחידה ששווה לנגזרת שלה
e הוא מספר מיוחד בערך 2.718281828. הוא משמש כבסיס ללוגריתם טבעי.
האזכור הראשון לקבוע נמצא ב-1618. לאונרד אוילר החל להשתמש באות e במאה ה-18.
=מה זה בעצם?
כשמחשבים ריבית שוב ושוב ובאופן רציף, התוצאה מתקרבת ל-e. לכן e קשור לצמיחה שנמשכת בלי הפסקה.
אם מפקידים שקל אחד ויוצאים על זה 100% ריבית לשנה, הסכום בבנק אם מחשבים ריבית הרבה פעמים יתקרב ל-2.72 שקלים.
e מופיע כשדברים גדלים מהר מאוד או דועכים לאט. לדוגמה, אוכלוסייה של תאים שגדלה באופן רציף מתוארת על ידי e.
בבעיה שבה מחלקים מכתבים באקראי, ההסתברות שאף מכתב לא יגיע למקום נכנס בערך ל-1/e, כלומר כ-37%.
בפיזיקה e עוזר לתאר דעיכה של מהירות ופריקה של מעגלים. במתמטיקה משתמשים ב-e גם כדי לייצג מספרים עם סיבוב במישור.
- e הוא לא שבר פשוט. הוא "מיוחד" יותר ממספר רגיל.
- ערך הקרוב: 2.718281828.
- מופיע בלוגריתמים, בהתפלגות הנורמלית ובתיאורי גידול.
תגובות גולשים