שיטת אינטגרלי המסלול היא דרך לתאר מכניקת הקוונטים שבה מחשבים את אמפליטודת המעבר כסכום על כל המסלולים האפשריים. השיטה פותחה בידי ריצ'רד פיינמן ב-1948, והיא משלים להציגות של שרדינגר והייזנברג. חשוב להבחין בין אינטגרלי מסלול בהקשר זה ובין אינטגרלי מסלול במתמטיקה; כאן האינטגרציה היא על פונקציונלים, כלומר על משתנים שהם מסלולים שלמים.
במכניקה הקוונטית עובדים עם הסתברויות. אמפליטודת ההסתברות היא מספר מורכב שהערך המוחלט שלו בריבוע נותן הסתברות. באינטגרלי המסלול מייצגים את אמפליטודת המעבר בין נקודת התחלה ונקודת סיום כסכום על כל המסלולים האפשריים. לכל מסלול יש משקל תלוי בפאזה e^{iS/ħ}, כאשר S הוא פונקציונל הפעולה של המסלול ו-ħ הוא קבוע פלאנק המחולק ב-2π.
למערכת פשוטה של חלקיק עם מסה m בתחום פוטנציאל V(x), הפעולה של מסלול x(t) היא האינטגרל של הלגראנז'יאן L על הזמן. הלגראנז'יאן הוא L = (1/2) m v^2 - V(x), כאשר v היא המהירות. פירוש פראזי: כל מסלול תורם, וההתאבכות בין התרומות קובעת את התוצאה הסופית.
לגזירה פורמלית מתחילים באופרטור ההתפתחות בזמן exp(-iHt/ħ), כאשר H הוא ההמילטוניאן H = p^2/(2m) + V(x). חותכים את זמן ההתפתחות ל־N צעדים קצרים, ומציבים בכל צומת את יחס השלמות של מצבי המקום. עבור פרק זמן קצר כל קטע מקבל גרעין (kernel) ידוע שניתן להעריך כגבוהה-רכבתית (גאוסית) עם פאזה של פעולה מקומית.
בגבול שבו מספר הקטעים שואף לאינסוף מקבלים אינטגרל על כל המסלולים, ומגדירים סמל ”Dx(t)” כאותה מידת אינטגרציה. התוצאה היא הביטוי הפורמלי:
psi(x_f,t;x_0) = ∫ Dx(t) exp( (i/ħ) ∫_0^t dt' L )
כאשר L הוא הלגראנז'יאן המערכת.
אינטגרלי המסלול יעילים לפתרון בעיות בתורת הקוונטים ולאחר הכללה לתורת שדות הם שפה מרכזית בפיזיקה התאורטית. יש להם יישומים מעשיים בחקר פולימרים, ב-DNA, בתנועה בראונית, ובניתוח רעידות בשווקים. הם גם עוזרים להבין הבדלים בין סטטיסטיקה פרמיונית ובוזונית.
גבול הקלאסי של התאוריה מתקבל כש-ħ שואף לאפס. בגבול זה תרומות רבות מתבטלות בגלל התנודדות הפאזה, ורק המסלולים שעבורם הפעולה סטציונרית (שונות קטנה לא משנה את S) נותנים תרומה חשובה. אלה הם המסלולים שנקבעים על ידי עקרון הפעולה המינימלית של המכניקה הקלאסית.
במעבר לזמן מדומה (t → -i t') הופך הגורם האקספוננציאלי ל-e^{-S_E/ħ}, כלומר משקל ממשי. מבנה זה זהה לפונקציית החלוקה בפיזיקה סטטיסטית, שבה כל מצב שוקל e^{-E/(k_B T)}. דוגמה אינטואיטיבית היא מיתר מתוח בין שתי נקודות; האנרגיה של עיקום המיתר ניתנת כפעולה על צורתו, ופונקציית החלוקה של המיתר היא סכום ממשקלי מצבים זהים לאינטגרל המסלולי בזמן מדומה. אנלוגיה זו מקשרת בעיות קוונטיות לבעיות סטטיסטיות ומרחיבה את היישומים.
אינטגרלי המסלול הם דרך של פיינמן להסביר קוונטים. כאן “אינטגרל” אומר שסופרים כל מסלולי התנועה ביחד. זה שונה מאינטגרל במתמטיקה הרגילה.
בחלקיקים קוונטיים צריך להסתכל על הסתברויות. אמפליטודה היא מספר שממנו מקבלים הסתברות על ידי לקיחת הערך המוחלט בריבוע. לפי אינטגרלי המסלול, אמפליטודת ההסתברות בין שתי נקודות היא סכום של תרומות מכל המסלולים בין נקודות אלה.
כל מסלול מקבל מספר שנקרא פעולה. פעולה היא סכום קטן על התנועות והאנרגיה לאורך המסלול. מסלולים שונים נותנים תרומות שיכולות להתאבך זו עם זו.
מחשבים את התרומה לאורך זמן על ידי פיצול הזמן לחלקים קצרים. בין כל שני רגעים מכניסים סכימה על מיקומים אפשריים. בסוף מרחיבים את הסכימה כדי לקבל סכום על כל המסלולים.
אינטגרלי המסלול עוזרים להבין פולימרים, DNA, תנועה בראונית ואפילו חלק מהתנהגות בשווקים.
כאשר קבוע פלאנק קטן מאוד, רק המסלול שהופך את הפעולה ל”הכי שקטה” נשאר חשוב. זהו אותו מסלול שמופיע גם במכניקה הקלאסית.
אם מחליפים את הזמן בזמן מדומה, מקבלים משקל של e^{-אנרגיה/(k_B T)}. זה כמו בסיכום מצבים בחום. דוגמה פשוטה היא מיתר בין שתי נקודות. כשהמיתר מתעקל יש לו אנרגיה. אם סופרים כל הצורות אפשר לחשב פונקציית חלוקה דמויית אינטגרל מסלולי.
תגובות גולשים