אלגברה (מבנה אלגברי)

אלגברה מעל חוג היא חוג A שמכיל תת‑חוג C שנמצא במרכז של A. כלומר, כל איבר של C commutes (החלפות בסדר לא משפיעות) עם כל איברי A. עוד הגדרה שקולה: אם C הוא חוג קומוטטיבי (חוג שבו a·b = b·a) ו‑A הוא מודול מעל C (מודול זה כמו מרחב וקטורי אך מעל חוג ולאו דווקא שדה), ויש כפל ביליניארי שמקיים α(xy) = (αx)y = x(αy) לכל α ב‑C, אז A נקראת אלגברה מעל C.

דוגמה חשובה היא כש‑C הוא שדה (שדה הוא חוג שבו לכל איבר לא‑אפסי יש הופכי). אז מודולים מעל C הם מרחבים וקטוריים, ואלגברה היא מרחב וקטורי שבו מוגדר כפל שממלא את כל התנאים. במצב זה הממד של האלגברה הוא הממד כמרחב וקטורי.

אלגברה נקראת אסוציאטיבית אם הכפל מקיים x(yz)=(xy)z לכל איברים. חלק מהמחברים כוללים את דרישת האסוציאטיביות כבר בהגדרה; אחרים מגדירים גם את המונח "אלגברה לא‑אסוציאטיבית".

אם A נפרש כמודול עם בסיס e1,e2,..., אז כדי להגדיר כפל מספיק לקבוע את המכפלות ei ⋆ ej = Σk β_{i,j}^k ek. המספרים β_{i,j}^k מושפעים מ‑C ונקראים קבועי המבנה. כאשר A חופשי כמודול (למשל מעל שדה), ניתן לתרגם תכונות כמו אסוציאטיביות למשוואות על קבועי המבנה.

קבוצה S ⊂ A יוצרת את תת‑האלגברה C[S], שמתקבלת מחיבור, חיסור, כפל וכפל בסקלרים מ‑C. אם קבוצה סופית S מייצרת את A, אומרים ש‑A נוצרת סופית או אפינית.

באלגברה קומוטטיבית אפשר להבדיל בין איברים לפי משוואות פולינומיות מעל C. איבר a נקרא אלגברי אם קיים פולינום על C שמאפס אותו. אם אפשר לבחור פולינום מוניקי (מקדם מוביל 1), קוראים לו שלם על C. איברים שאינם מקיימים משוואה כזו נקראים טרנסצנדנטיים.

משפטים: אלגברה אפינית שהיא גם שדה חייבת להיות אלגברית, ולכן ממד‑סופי מעל C. משפט הנורמליזציה של נתר נותן תת‑אלגברה R של A שהיא שלמה מעל C כך ש‑A 'טרנסצנדנטית' מעליה; מזה נובעת זהות מסוימת בין ממד קרול לדרגת הטרנסצנדנטיות.

המרכז של חוג אסוציאטיבי פשוט (עם יחידה) הוא שדה. לכן אפשר לראות אלגברה פשוטה כאלגברה מעל המרכז שלה. אלגברות פשוטות מרכזיות מעל שדה F נקראות כך אם מרכזן הוא F. כאשר הממד סופי, אלגברה כזו היא איזומרפית לאלגברת מטריצות מעל חוג חילוק (חוג שבו כל איבר לא‑אפסי הפיך). אם F סגור אלגברית (כמו שדה קומפלקס), אז אין חוגי חילוק מממד סופי למעט F עצמו.

אם A אלגברה ארטינית (תכונה שמגבילה שרשראות אידיאלים), אז הרדיקל של ג'ייקובסון J(A) הוא נילפוטנטי (כלומר, חזקה מסוימת שלו היא אפס). מנה A/J(A) היא אלגברה חצי‑פשוטת שניתן לפרק כסכום ישר של מספר סופי של אלגברות פשוטות. לפי המשפט היסודי של ודרברן, על שדה מושלם F קיים תת‑אלגברה A' ש‑A' ≅ A/J(A) ויש פירוק ליניארי A = A' ⊕ J(A).

אלגברה מעל חוג היא מבנה עם שני דברים עיקריים: חוג A ותת‑חוג C שנמצא במרכז. חוג הוא קבוצה עם חיבור וכפל. "במרכז" פירושו שאיברי C מתחלפים בסדר עם כל איברי A.

עוד דרך להגיד את זה: אם C קומוטטיבי (כל זוג איברים מחליף סדר) ו‑A הוא מודול מעל C (מודול דומה למרחב וקטורי), ויש כפל שעובד טוב עם הסקלרים, אז A היא אלגברה מעל C.

אלגברה אסוציאטיבית אומרת שכפל לפי סדר לא משנה אם קודם כופלים בין y ל‑z או בין x ל‑y. לפעמים דורשים את זה תמיד. לפעמים לא.

אם יש לנו בסיס של A, אפשר לכתוב את מכפלות הבסיס עם מספרים שנקראים קבועי המבנה. קבועים אלה מסבירים איך הכפל פועל.

קבוצה S יוצרת תת‑אלגברה אם כל איברי A ניתנים לבנות מ‑S בעזרת חיבור, חיסור, כפל וכפל בסקלרים. אם S קטנה וסופית, קוראים לאלגברה אפינית.

איבר נקרא אלגברי אם יש לו משוואה פולינומית עם מקדמים מ‑C. אם אפשר לקחת את המשוואה עם מקדם מוביל 1 קוראים לו שלם. אם אין משוואה כזו, האיבר נקרא טרנסצנדנטי. דוגמה חשובה היא מספרים שלא מקיימים אף משוואה פשוטה.

המרכז של אלגברה פשוטה הוא שדה. אלגברות פשוטות מרכזיות מממד סופי הן בדרך כלל מטריצות מעל חוג חילוק. אם השדה בסיסי ומיוחד (סגור אלגברית), אז אין חוגי חילוק נוספים.

יש גם רעיון של רדיקל (J(A)). זהו חלק של האלגברה שהופך לנעלם אחרי כפל חוזר מספר פעמים. מנה A/J(A) מתפרקת לסכום של אלגברות פשוטות. משפט חשוב אומר שניתן למצוא תת‑אלגברה A' שאופיינית כך ש‑A היא סכום ישר של A' והרדיקל: A = A' ⊕ J(A).