אלגברה לא אסוציאטיבית

אלגברה לא אסוציאטיבית היא מבנה אלגברי שבו לא מניחים שמתקיימת האסוציאטיביות (כלומר שלא תמיד (xy)z = x(yz)). היא כוללת גם את האלגברות האסוציאטיביות, ולכן כל אלגברה אסוציאטיבית נחשבת כאן כמקרה פרטי. במשפחות רבות שחלות כאן, כמו אלגברות לי (Lie), אלגברות ז'ורדן ואלטרנטיביות, מחליפים את אקסיומת האסוציאטיביות באקסיומות חלופיות, וכך מקבלים קבוצות של אלגברות כמעט-אסוציאטיביות עם משפטי מבנה דומים לאלה במקרה האסוציאטיבי.

הגרעין של אלגברה A הוא קבוצת האיברים g שגורמים לכך שהאסוציאטור (הפונקציה שבודקת את חוסר האסוציאטיביות) מתאפס בכל קומבינציה עם g. זהו תת-אלגברה אסוציאטיבית בתוך A. המרכז הוא הקבוצה שבתוך הגרעין שמתחלפת (קומוטטיבית) עם כל איבר ב-A.

אלגברת הפעולות M(A) נוצרת על ידי ההעתקות של כפל משמאל ומימין, והיא פועלת על A ועל האידיאלים שלה. ה-centroid הוא המרכז של M(A) בתוך כל ההעתקות, והוא מייצג מבנה מרכזי במיוחד כאשר לאלגברה אין יחידה.

ניתנים להגדיר חזקות ומדרגים כדי להגדיר נילפוטנטיות (כאשר מכפלות מרובות בסופו של דבר נותנות את האיבר האפס) ופתירות (כאשר מבצעים פעולה דומה בצורת קומוטטיבית חוזרת). כל אלגברה נילפוטנטית היא גם פתירה. בסוף-ממד מגדירים את הרדיקל הפתיר S(A), האידיאל הפתיר המקסימלי, כך שהמנה A/S(A) אינה מכילה אידיאלים פתירים אמיתיים. קיימים רדיקלים אחרים, למשל רדיקל הפשטות N(A), שהופך את המנה לסכום אידיאלים פשוטים.

תבנית עקבה היא תבנית ביליניארית סימטרית שמקיימת כלל תאימות עם הכפל. לכל תבנית עקבה יש רדיקל, שהוא האידיאל של כל האיברים שמתחלקים ל־0 ביחס לתבנית. אם התבנית רגולרית (הרדיקל אפס) ותנאי נוסף מתקיים לגבי הכפל באידיאלים, אז האלגברה הסוף-ממדית מתפרקת לסכום ישר של אידיאלים פשוטים. בתורת לי משתמשים בתבנית קילינג דוגמת תבנית עקבה כדי לחקור את המבנה.

הנגזרות הן ההעתקות שמקיימות כלל לייבניץ: D(ab)=aD(b)+D(a)b. קבוצת הנגזרות, Der(A), היא תת-אלגברת לי. נגזרות שניתן להציג על ידי פעולות הכפל עצמן נקראות פנימיות. בתנאים רגילים, בכל אלגברה פשוטה למחצה בעלת יחידה כל הנגזרות הן פנימיות.

כאן יש הבחנה בין הפיכות משמאל ומימין לבין פתרון משוואות מהסוג ax=b. אלגברת חילוק מוגדרת על ידי תנאים שקולים שמבטיחים חוסר מחלקי אפס. במקרה הסוף-ממדי, תחום שהוא חוסר מחלקי אפס הוא בהכרח אלגברת חילוק.

במקרים רבים נשמרים תוצאות מסוג משפט ודרברן הקטן: למשל, אלגברה חילוק אלטרנטיבית סופית היא למעשה שדה. מקרים אלה הוכחו באמצעות ניתוח מיוחד של האלגבראות הרלוונטיות.

מכפלת טנזור של שתי אלגברות לא אסוציאטיביות תמיד נותנת אלגברה לא אסוציאטיבית, אך היא עלולה לא לצאת מאותה משפחה. כך, מכפלה של שתי אלגברות אסוציאטיביות נותנת אלגברה אסוציאטיבית, בעוד שמכפלה של שתי אלגברות ז'ורדן לא חייבת להיות ז'ורדן. כמו במקרה האסוציאטיבי, המכפלה הטנזורית של אלגברות פשוטות מרכזיות נשמרת כפשוטה מרכזית.

אלגברה לא אסוציאטיבית היא אלגברה שבה לא תמיד אפשר לשנות סדר גרעיני של כפל. זה אומר ש־(xy)z לא תמיד שווה ל־x(yz). יש כאן גם אלגברות רגילות (אסוציאטיביות).

הגרעין הוא קבוצת האיברים שעושים שהחוסר אסוציאטיביות נעלם. המרכז הוא חלק מהגרעין שמתחלף עם כל שאר האיברים.

יש משפחות מפורסמות, למשל אלגברות לי ואלגברות ז'ורדן ואלטרנטיביות. חוקרים לומדים אותן כי יש להן חוקים דומים לאלה של אלגברות רגילות.

נילפוטנטית משמעותה: אם כופלים מספיק פעמים, הכל קורס לאפס. פתירה משמעותה: בצעדים חוזרים המבנה מתפשט ו"מתמוסס". רדיקל הוא החלק הפתיר הכי גדול של האלגברה.

תבנית עקבה היא משפט עזר שמקשרת בין איברים וכפל. היא עוזרת להבין את המבנה. אם היא רגולרית, האלגברה יכולה להישבר לחלקים פשוטים.

נגזרת היא העתקה שמקיימת כלל דמוי חיבור וכפל (כלל לייבניץ). יש נגזרות שנקראות פנימיות. הן נוצרות מהכפל עצמו.

אלגברת חילוק היא אלגברה בלי מחלקי אפס. במקרים סופיים, סוגים מסוימים של אלגברות חילוק הם שדות.

מכפלה טנזורית של שתי אלגברות לא אסוציאטיביות נותנת שוב אלגברה לא אסוציאטיבית. היא לא תמיד שומרת את אותו סוג משפחתי.