אלגברת ז'ורדן

אלגברת ז'ורדן היא מבנה אלגברי לא-אסוציאטיבי (כלומר הכפל אינו חייב להיות אסוציאטיבי), שבו הכפל סימטרי: x•y = y•x. בנוסף היא מקיימת זהות מרכזית שמחייבת שיטות החזקות המתנהגות כמעט אסוציאטיבית, ולכן כל אלגברת ז'ורדן היא בעלת 'חזקה אסוציאטיבית', חזקות כמו x^n מתנהגות היטב.

אלגברה זו הוגדרה על ידי הפיזיקאי Pascual Jordan בניסיון לתת מסגרת מופשטת למכניקת הקוונטים. המוטיב היה שמטריצות הרמיטיות (מטריצות ששוות לצמוד ההופכי שלהן) אינן סגורות תחת הכפל הרגיל, אך סגורות תחת הכפל הסימטרי x•y = (xy+yx)/2. כך נולדה ההגדרה הכללית של אלגברות ז'ורדן.

יורדן ניסח את הרעיון בתחילת שנות ה-30. יחד עם פון נוימן וויגנר הוכיחו כי אלגברות ז'ורדן מממד סופי וממשיות טופולוגית שייכות למספר משפחות ספציפיות. הם חקרו מתי מבנים אלה מתקיימים כמטריצות הרמיטיות תחת כפל סימטרי.

כל אלגברה אסוציאטיבית A יכולה להניב אלגברת ז'ורדן A^+ אם נגדיר בה כפל סימטרי x•y = (xy+yx)/2.
אלגברות כאלה נקראות מיוחדות (special). דוגמה חשובה נוספת היא אוסף האיברים הסימטריים באלגברה עם אינוולוציה, גם הם סגורים תחת הכפל הסימטרי.
קיים גם מבנה יוצא דופן: אלגברת אלברט. זוהי קבוצת המטריצות ההרמיטיות מדרגה 3 מעל האוקטוניונים. אלגברת אלברט היא פשוטה, מממד 27, ואינה מיוחדת. היא שימשה כדוגמה שגילתה מגבלות ברעיון המקורי של יורדן.

ב-1934 הוצג מיון ראשוני: אלגברות ז'ורדן מממד סופי ושדה ממשי פורמלית שייכות למספר משפחות מסודרות. שלוש המשפחות הראשונות והספין הן מיוחדות. אלגברות אלברט הן היוצאות מן הכלל שהן פשוטות ולא מיוחדות.
בהמשך הושלמו משפטי מיון על ידי נתן ג'ייקובסון ועוד, והם מתארים את כל האפשרויות מעל שדות שונים (בתנאי שחקירת השדה שונה מ-2).

כמו באלגברות אסוציאטיביות, לאלגברת ז'ורדן מממד סופי יש רדיקל נילי, האידיאל הנילי הגדול ביותר. מחלקים את האלגברה לסכום ישר של חלק פשוט ומרכיב נילפוטנטי. קיימת גם גרסה של משפט ודרברן: אם המנה ביחס לרדיקל נילפוטנטי היא ספרבילית, אז היא מייצגת תת-אלגברה איזומורפית למנה.

נניח קיים אידמפוטנט e (איבר שמקיים e•e = e). אז האלגברה מתפרקת לשלושה מרכיבים J_1, J_{1/2}, J_0 לפי הערכים של פעולת הכפל ב-e. מרכיבים אלה מקיימים יחסים מסוימים של סגירות. בדוגמה של A אסוציאטיבית, מרכיבי הפירוק הם חתיכות מוכרות של A סביב e.

יפים זלמנוב המשיך ופיתח את המיון הרבה מעבר לתוצאות הראשוניות. הוא קשר את אלגברות ז'ורדן לאלגברות לי ולחבורות מפותלות, ופתר בעיות מרכזיות כמו בעיית ברנסייד המוגבלת. על כך זכה במדליית פילדס.

באלגברות ז'ורדן מוגדרת גם מכפלה משולשת {x,y,z} שמשתמשת בכפל •. איבר שאינו אפס ועבורו a^2=0 וגם {a,J,a}=0 נקרא "מחלק אפס מוחלט". אם קיימים כאלה, האלגברה נקראת מנוונת. יש רדיקל לא מנוון (מכונה גם רדיקל מק'רימון), והוא הנמוך ביותר כך שהמנה לא תהיה מנוונת. במימד סופי, רדיקל זה שווה לרדיקל הנילי.

זלמנוב הראה שהאלגברה הפשוטה היחידה שאינה מיוחדת היא אלגברת אלברט. הוא מיין אלגברות פרימיטיביות ולא־מנוונות, ותיאר איך אלגברות אלה קשורות לאלגברות עם חילוק ותבניות ביליניאריות סימטריות.

מכנים U_x אופרטור חשוב שמוגדר מ-L_x, ומקשר להפיכות. איבר x הפיך אם קיימת y שממלאת תנאי הופכיות מסוימים יחסית ל־U_x. אלגברה שבה כל איבר הפיך נקראת אלגברה עם חילוק. זלמנוב מיין אלגברות עם חילוק לארבע משפחות עיקריות, כולל דוגמאות הנובעות מאלגברות חילוק אסוציאטיביות ותבניות ריבועיות וקוביות.

האלגברה החופשית FJ היא האלגברה הלא-אסוציאטיבית החופשית שמקיימת זהויות ז'ורדן. לכל אלגברת ז'ורדן יש הומומורפיזם מתאימה מ-FJ. קיימים אידיאלים חשובים של זהויות מיוחדות ושל זהויות חוגי אלברט. בחופשית על יותר משני יוצרים יש רדיקל מק'רימון לא טריוויאלי.

יש גרסאות נוספות: אלגברות ז'ורדן ריבועיות, מערכות ז'ורדן משולשות, זוגות ז'ורדן וסופר-אלגברות ז'ורדן. אלו מורחבים שימושיים למחקר מתמטי מתקדם.

ניתנות הגדרות כלליות גם לאלגברות שאינן קומוטטיביות. הן מקיימות זהויות גמישות מסויימות, ולכן מתקשרות לאלגברות גמישות ריבועיות כמו אלגברות קיילי-דיקסון. לעתים כל אלגברת לי בינארית היא דוגמה כזו. במאפיין אפס, האלגברות הפשוטות הן או ז'ורדן רגילות, או גמישות ריבועיות, או קוואזי-אסוציאטיביות.

משתמשים גם בדירוג Z/2Z להגדרת סופר-אלגברות ז'ורדן. ויקטור כץ מיפה את המיון של הסופר-אלגברות הפשוטות מממד סופי מעל שדה סגור במאפיין 0.

מחקר נוסף בשונות השנים הרחיב את המושג והציג עוד מבנים המתקשרים לאלגברות ז'ורדן.

אלגברת ז'ורדן היא דרך לכפל בין איברים שבה הכפל סימטרי. סימטרי כאן פירושו: x•y = y•x.

המדען Pascual Jordan המציא את הרעיון בתחילת המאה ה-20. הוא רצה להסביר חוקים של מכניקת הקוונטים בלי להשתמש בכל המטריצות הרגילות.

אם לוקחים מטריצות הרמיטיות (מטריצות שמקיימות תנאי סימטרי), ומגדירים כפל חדש x•y = (xy+yx)/2, מקבלים אלגברת ז'ורדן. יש גם אלגברה מיוחדת מאוד בשם אלגברת אלברט. היא שונה וחזקה.

= מיון ופירוק
מתמטיקאים גילו שיש כמה משפחות של אלגברות ז'ורדן. חלק גדול מהאלגברות נבנות ממטריצות או מאלגבראות רגילות. אלגברת אלברט היא יוצאת דופן.

= רדיקלים ומושגים פשוטים
יש חלקים "חלשים" שקוראים להם רדיקל. רדיקל הוא קבוצה של איברים שהפעולות איתם מתדרדרות. אלגברה בלי מחלקי אפס מוחלטים נקראת לא מנוונת.

= אלגברה חופשית
קיימת גם אלגברה חופשית שמכילה את כל האלגברות האפשריות לפי החוקים של ז'ורדן. לכל אלגברה ניתן לקשר אלגברה חופשית כזו.

= עוד מבנים
יש גרסאות מיוחדות כמו סופר-אלגברות. חוקרים ממשיכים ללמוד ולמצוא דוגמאות חדשות.