מטריצה לכסינה

באלגברה ליניארית, מטריצה ריבועית A היא לכסינה אם קיימות מטריצה אלכסונית D ומטריצה הפיכה P כך ש‑D = P^{-1} A P. כלומר ניתן לשנות בסיס כך שמטריצה תמיר לפורמט שבו כל הערכים המופעלים על הכיוונים נראים בבירור. P נקראת מטריצה מלכסנת, ו‑D נקראת מטריצה ספקטרלית של A.

מושגי הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים (ווקטור שפועל עליו האופרטור "מתקזז" רק בגורם קבוע) עוזרים להבין איך המטריצה פועלת. אם מטריצה היא לכסינה יש לה n וקטורים עצמיים בלתי תלויים שמרכיבים בסיס של המרחב. בכתיבה לפי בסיס זה החישוב של תמונות וקטורים נעשה פשוט.

חיסכון חישובי הוא סיבה חשובה ללכסון. כאשר A = P D P^{-1}, ניתן להעלות בחזקה את A בקלות: A^n = P D^n P^{-1}. העלאת מטריצה אלכסונית בחזקה היא פשוט העלאת כל איבר אלכסוני בחזקה.

בלכסון יש שימושים בפיזיקה, למשל למציאת אופני תנודה עצמיים של מערכת ולפתרון משוואת שרדינגר.

1) לפתור את הפולינום האופייני p(λ)=det(λI−A) כדי למצוא הערכים העצמיים.
2) לבנות את המטריצה האלכסונית D מהשורשים λ_1,…,λ_n (הערכים העצמיים).
3) לחשב את הממדים של הליבות \'ker(λI−A)\' כדי לדעת את הריבוי הגאומטרי לכל ערך עצמי. ריבוי גאומטרי הוא מספר הווקטורים העצמיים העצמאיים.
4) למצוא בסיס של וקטורים עצמיים ולבנות את P כעמודותיהם. אז D = P^{-1} A P.

מטריצה היא לכסינה אם ורק אם הפולינום האופייני מתפרק לגורמים ליניאריים על השדה הרלוונטי, והריבוי האלגברי של כל ערך עצמי שווה לריבוי הגאומטרי שלו. במלים אחרות, סכום הממדים של המרחבים העצמיים שווה לממד המטריצה.

לכסון אוניטרי הוא לכסון בעזרת מטריצה אוניטרית Q (מטריצה שההיפוך שלה שווה להעתקה הצמודה שלה). מטריצה מעל ℚ ניתנת ללכסון אוניטרי אם ורק אם היא נורמלית. מטריצות הרמיטיות ונורמליות תמיד ניתנות ללכסון אוניטרי. במקרה של מטריצה סימטרית ממשית, אפשר לבחור P אורתוגונלית, וזה נקרא לכסון אורתוגונלי.

מטריצה ניתנת לשילוש אם היא דומה למטריצה משולשית עליונה. היא ניתנת לשילוש מעל שדה אם הפולינום האופייני מתפרק שם. במיוחד, כל מטריצה מעל ℜ ניתנת לשילוש.

מטריצה היא לְכסינה כשאפשר לשנות אותה למטריצה פשוטה עם מספרים רק על האלכסון. מטריצה אלכסונית היא כזו שרק הקו מהפינה השמאלית העליונה לפינה הימנית התחתונה מלא במספרים.

ווקטור עצמי הוא כיוון שבו המטריצה לא משנה את הכיוון. הערך העצמי הוא המספר שכופל בכיוון הזה.
אם יש הרבה כיוונים כאלה עד שמכסים את כל המרחב, אפשר לכתוב את המטריצה בצורה אלכסונית. אז החישובים קלים.

קל להעלות מטריצה אלכסונית בחזקה. צריך רק להעלות כל מספר אלכסוני בחזקה.
נוסחאות כאלה שימושיות בפיזיקה. למשל, כדי למצוא איך מערכת רועדת או לחקור פתרונות בקוונטים.

1) למצוא את הערכים העצמיים של המטריצה.
2) למצוא את הווקטורים העצמיים המתאימים.
3) אם יש מספיק וקטורים עצמאיים, אפשר לבנות בסיס ולשנות את המטריצה לאלכסונית.

מטריצה ניתנת לשילוש כשאפשר להפוך אותה למטריצה משולשית עליונה. כל מטריצה מעל המספרים המרוכבים אפשר לשילש.