"אקסיומת המקבילים" היא האקסיומה החמישית בספרו של אוקלידס "יסודות". אקסיומה היא הנחה יסודית שמקבעים בלי להוכיח. אוקלידס ניסח אותה כך: אם שני ישרים חותכים על ידי ישר שלישי, ואם זוויות פנימיות בצד אחד מסתכמות לפחות משתי זוויות ישרות, אז אם מאריכים את הישרים בצד הזה הם יתחברו. ניסוח מודרני שקול קובע: דרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר ישר אחד ויחיד המקביל לישר הנתון.
אוקלידס בנה את הגאומטריה שלו מתחילתית: הגדרות, ואז חמש הנחות. ארבע הראשונות קצרות ופשוטות. החמישית בולטת באורכה ובמורכבותה. אוקלידס עצמו נראה זהיר לגביה: הוא הוכיח הרבה טענות ראשונות בלי להשתמש בה.
בשילובים מאוחרים של הטקסט, האקסיומות הוצגו אחרת, ובכמה מהדורות של המאה ה-19 הוצגה אקסיומת המקבילים כאחד מסט אקסיומות נוסף. לכן היא נקראת לעיתים "האקסיומה ה-11" במקורות ישנים.
המשפט המשלים קובע: אם שני ישרים חותכים על ידי ישר שלישי, וסכום הזוויות הפנימיות בצד אחד שווה בדיוק לשתי זוויות ישרות, אז הישרים מקבילים ולא ייפגשו. משפט שקול מופיע אצל אוקלידס: סכום הזוויות במשולש קטן משתי זוויות ישרות. הוכחות כאלה מסתמכות על הנחות בסיסיות נוספות, למשל שהישרים שאינם מקבילים נפגשים בנקודה אחת בלבד.
רבים מהתכונות המוכרות בגאומטריה נגזרות או שקולות לאקסיומת המקבילים, בהנחה שאומרים שיש רק ארבע ההנחות הראשונות. דוגמאות חשובות: סכום הזוויות במשולש הוא 180°, משפט פיתגורס במשולש ישר-זווית, והעובדה שיש זוג ישרים במרחק קבוע זה מזה. כמה מהתכונות האלה נראו כל כך טבעיות, שמנסים ישנים להוכיח את האקסיומה הסתמכו בטעות על אותן תכונות.
אלפי שנים של ניסיונות להוכיח את האקסיומה כנגזרת של האחרות לא צלחו. מתמטיקאים מוסלמים ואירופאים, כמו איבן אל‑היית'ם, עומר ח'יאם, נסיר א-דין א-טוסי, סאקרי ולמברט, ניסו דרכים שונות, לעתים באמצעות הנחות נגדיות (הוכחה בדרך השלילה). חלק מהרעיונות שלהם שימשו מאוחר יותר. עד המאה ה-19 לא נמצאה הוכחה משאר ההנחות בלבד.
בתחילת המאה ה-19 גילו באופן בלתי תלוי בוליאי, לובצ'בסקי וגאוס שאפשר להחליף את אקסיומת המקבילים באקסיומה אחרת ולבנות גאומטריות שונות. בגאומטריה ההיפרבולית עוברים דרך נקודה מחוץ לישר אינסוף ישרים מקבילים לו. בגאומטריה הספירית אין ישרים מקבילים כלל. גילויים אלה הראו שאקסיומת המקבילים אינה נגזרת מהאחרות, אבל שאפשר לבנות גאומטריות עקביות שונות. גאומטריות לא‑אוקלידיות נמצאו מועילות גם בפיזיקה: הגאומטריה על יריעה פסאודו-רימנית מהווה בסיס לתורת היחסות הכללית.
אוקלידס, מתמטיקאי מן העת העתיקה, כתב כלל חשוב בגאומטריה. אקסיומה היא כלל בסיסי שלא הוכיחו. אקסיומת המקבילים אומרת בקיצור: דרך נקודה שמחוץ לקו אפשר לעבור רק קו אחד שמקביל לקו ההוא.
אוקלידס בנה את הגאומטריה מתוך כמה הנחות פשוטות. הארבע הראשונות קצרות. החמישית ארוכה ומיוחדת. לכן היא זכתה לשם מיוחד.
יש כלל קשור: אם שני קווים נחתכים על ידי קו שלישי, ונקבל זוויות ששוות בדיוק לשתי זוויות ישרות, אז הקווים מקבילים. חוק כזה קשור גם למה שקורה במשולש.
כמה משפטים ידועים תלויים באקסיומת הזו. למשל: סכום הזוויות בכל משולש הוא 180 מעלות. גם משפט פיתגורס קשור לרעיון הזה.
מחשבות רבות נכתבו כדי לנסות להוכיח את הכלל הזה מההנחות האחרות. לבסוף, במאה ה-19, מתמטיקאים גילו גאומטריות שונות. בגאומטריה ההיפרבולית יש יותר מקו מקביל אחד דרך נקודה. בגאומטריה הספירית אין כלל קוים מקבילים. אלה רעיונות שחשובים גם במדע היום.
תגובות גולשים