אוקלידס
אוקלידס (365, 275 לפנה"ס) היה מתמטיקאי יווני מפורסם. הוא עובד באלכסנדריה במצרים. אנו יודעים מעט על חייו. רוב המידע אודותיו הגיע מאנשים שכתבו עליו מאות שנים אחרי מותו. יתכן שלמד באקדמיה של אפלטון. אוקלידס כתב ספר גדול בשם "היסודות". הספר מסדר רעיונות במתמטיקה בצורה ברורה. הוא השתמש באקסיומות. אקסיו...
אדלארד מבאת'
אדלארד מבאת היה מלומד אנגלי שחי במאות ה-11 וה-12. הוא תרגם ספרים מערבית ללטינית. (לטינית היא שפה ישנה של מדע.) הוא תרגם ספרים על אסטרולוגיה ואסטרונומיה. אסטרולוגיה היא האמונה שכוכבים משפיעים על החיים. אסטרונומיה היא חקר הכוכבים. הוא נסע במשך שבע שנים למדינות כמו ספרד, מצרים ויוון. למד בעיר טור בצ...
ברוך משקלוב
רבי ברוך שיק משקלוב (1744, 1808) היה רב וחכם יהודי. הוא כתב ותרגם ספרים במדעים בעברית. נולד בשקלוב. אביו ורבותיו היו רבנים. ב-1764 קיבל אישור להיות רב. שימש שופט בקהילה במינסק. שיק אהב ללמוד אנטומיה (איך גוף האדם בנוי) ואסטרונומיה (חקר הכוכבים). יתכן שלמד רפואה בלונדון. כתב את "עמודי שמים" על הש...
מתמטיקה ביוון העתיקה
היוונים הקדמונים ראו במתמטיקה משהו חשוב שאפשר ללמוד לבד. הם המציאו את הרעיון של ה"הוכחה", הסבר שמראה שדבר נכון. הם אהבו גאומטריה, זהו חקר צורות כמו משולשים ומעגלים. כמה אנשים חשובים: - תאלס: גילה משפטים בגאומטריה ועזר למדוד דברים. - פיתגורס: חקר מספרים. תלמידיו חשבו שהכל אפשר למדוד במספרים. - אוקל...
ת'אבת אבן קורה
ת'אבת אבן קורה (826, 901) היה מדען ערבי. הוא עסק במספרים ובשמים. ת'אבת נולד בעיר חרן. זו עיר במסופוטמיה, היום בטורקיה. הוא עבד בשוק ואז עבר לבגדאד כדי ללמוד. הוא למד ושם לב לחוקי המספרים ולתנועות השמיים. בתור מתרגם הוא עברית כתבים יווניים חשובים, כמו של אוקלידס וארכימדס. ת'אבת גילה דרך לייצר "זוג...
פורטל:ערכים מומלצים/ערכים/יסודות (ספר)
"יסודות" נכתב על ידי אוקלידס לפני כאלף שנתיים לפני הספירה. הספר מחולק ל־13 חלקים. הוא מסדר הגדרות וחוקים חשובים במתמטיקה. הרבה מהחלקים עוסקים בגאומטריה. יש גם חלקים על תורת המספרים (חקר מספרים) ואלגברה פשוטה. "יסודות" הוא מהספרים העתיקים שהשפיעו מאוד על המתמטיקה והמדע. עותקים של הספר עברו מביזנטי...
היסטוריה של המתמטיקה
המתמטיקה התחילה כבר לפני אלפי שנים. בני אדם חישבו כדי לספור ולמדוד. נמצאו עצמות עם חריצים. ייתכן שהן שימשו לספירה. המצרים חשבו בשביל למפות שדות ולבנות פירמידות. הם השתמשו בשברים. פפירוסים מראים דוגמאות לחישובים. הבבלים עבדו בבסיס 60. משאירי השיטה שלנו למדוד זמן וכו'. יש להם לוחות עם חישובים מתמטי...
למה (מתמטיקה)
למה היא משפט קטן במתמטיקה. משפט הוא רעיון שאפשר להראות שהוא נכון. למה עוזרת להוכיח משפט גדול יותר. לפעמים למה גם חשובה בפני עצמה. ממתמטיקאים ידועים יש למות ישנות, למשל אצל אוקלידס וארכימדס. בלשון היוונית, המילה "למה" אומרת משהו שמתקבל, כמו מתנה....
מספר ראשוני
מספר ראשוני הוא מספר טבעי גדול מ־1. הוא מתחלק רק ב־1 ובעצמו. לדוגמה: 2, 3 ו־5. מספר שאפשר לחלקו למספרים אחרים נקרא פריק. פריק הוא מספר שאינו ראשוני. מספרים ראשוניים הם אבני־בניין. מכלם אפשר להרכיב כל מספר אחר בעזרת כפל. לכן הם חשובים במתמטיקה ובמחשב. אוקלידס הראה שאי אפשר למנות את כל הראשוניים. הו...
יסודות (ספר)
"יסודות" נכתב על ידי אוקלידס מאלכסנדריה לפני כאלפיים שנה. זה ספר גדול על צורות ומספרים. הוא מסדר הגדרות וחוקים במתמטיקה. הספר הגיע לארצות שונות. במאה ה-12 תורגם ללטינית. בהדפסה ראשונה נדפס ב-1482. תרגום לעברית נעשה ב-1780 בעידוד הגאון מווילנה. הספר מחולק ל-13 חלקים. ששה ראשונים מדברים על צורות ש...
נקודה עשרונית
הנקודה העשרונית היא סימן שמפריד בין החלק השלם של מספר ובין החלק אחרי הנקודה. במקומות כמו ארצות הברית, בריטניה וישראל משתמשים בנקודה. במדינות אחרות משתמשים בפסיק. לפני מאות שנים אנשים סימנו שברים בדרכים שונות. המתמטיקאי אבו אל‑חסן אל‑אוקלידסי כתב על שברים עשרוניים במאה העשירית. באירופה התחילו להשתמש...
מחלק משותף מקסימלי
מחלק משותף מרבי הוא המספר הגדול ביותר שמחלק שני מספרים בלי שארית. לדוגמה, המחלק המשותף המרבי של 12 ו‑18 הוא 6. אם לשני מספרים יש את אותם גורמים ראשוניים (מספרים שאי אפשר לחלק אותם עוד), המשותף ביניהם נותן את ה‑gcd. אם אין גורם משותף גדול מ‑1, קוראים להם זרים (אין להם מחלק משותף גדול). אין צורך לפר...
מספר משוכלל
מספר משוכלל הוא מספר ששווה לסכום כל המספרים שמחלקים אותו חוץ ממנו עצמו. דוגמאות ידועות הן 6, 28 ו-496. היוונים הקדמונים ידעו על מספרים כאלה. אוקלידס מצא דרך לבנות חלק מהם. הוא אמר: אם 2^n-1 הוא מספר ראשוני, אז 2^{n-1}(2^n-1) הוא משוכלל. "ראשוני" זה מספר שמתחלק רק ב-1 ובעצמו. מאוחר יותר קראו למספ...
ניקולו טרטליה
ניקולו פונטאנה (1499, 1557) ידוע בשם ניקולו טרטליה. כשהעיר ברשה נכבשה ב-1512, אביו נהרג והוא נפצע בפיו. הפציעה גרמה לו לקושי בדיבור. לכן קראו לו "טרטליה". המילה "מגמגם" פירושה שיש קושי בדיבור. הוא גדל במשפחה ענייה ולא תמיד הלך לבית ספר. אמו הציעה שיעורים לזמנים קצרים. כשהיו לו מעט דפים, כתב על מצב...
גאומטריה אוקלידית
גאומטריה אוקלידית מדברת על נקודות, קווים ומעגלים. נקודה היא נקודה קטנה בלי גודל. ישר הוא קו ארוך שאפשר להמשיך אותו בלי סוף. מעגל הוא קו סביב נקודת מרכז במרחק קבוע. זווית היא הפינה בין שני קווים. היוונים קבעו חוקים פשוטים שעוזרים לבנות משפטים. החוקים העיקריים: 1. אפשר לצייר קו ישר בין שתי נקודות. 2....
משוואה דיופנטית
משוואה דיופנטית היא משוואה שמחפשים לה פתרונות שהם מספרים שלמים. השם מגיע מהמתמטיקאי דיופנטוס. יש משוואות פולינומיות ומשוואות שאינן פולינומיות. לדוגמה a^x = c + n y היא משוואה עם חזקות. חלק מהמשוואות האלה קלות, וחלקן מאוד קשות. משוואה מפורסמת היא x^2+y^2=z^2. פתרונותיה נקראים שלשות פיתגוריות. יש נו...
גאומטריה
גאומטריה היא ענף במתמטיקה שעוסק בצורות. אלה כוללות נקודות, קווים, עקומות, משטחים ומעגלים. בגאומטריה משתמשים בכללים בסיסיים שנקראים אקסיומות. אקסיומה היא כלל שמקבלים כנכון בלי להוכיחו. מהאקסיומות בונים משפטים והוכחות. כך מגלים מתי שתי צורות זהות. היוונים העתיקים, ובעיקר אוקלידס, כתבו ספר חשוב שנקרא...
אקסיומת המקבילים
אוקלידס, מתמטיקאי מן העת העתיקה, כתב כלל חשוב בגאומטריה. אקסיומה היא כלל בסיסי שלא הוכיחו. אקסיומת המקבילים אומרת בקיצור: דרך נקודה שמחוץ לקו אפשר לעבור רק קו אחד שמקביל לקו ההוא. אוקלידס בנה את הגאומטריה מתוך כמה הנחות פשוטות. הארבע הראשונות קצרות. החמישית ארוכה ומיוחדת. לכן היא זכתה לשם מיוחד. ...
מספרים זרים
מספרים נקראים זרים אם אין להם אף מספר ראשוני משותף חוץ מ־1. מספר ראשוני הוא מספר שמתחלק רק ב־1 ובעצמו. למשל 1496 ו־19695 אינם חולקים אף ראשוני. שלושה מספרים יכולים להיות זרים יחד גם אם זוגות מהם לא זרים. דוגמה פשוטה: 6, 10 ו־15. אם אפשר להכפיל ולחבר שני מספרים ולקבל 1, אז הם זרים. יש שיטה בשם אלגור...
משפט פיתגורס
משפט פיתגורס עוזר לדעת את הקשר בין שלוש צלעות של משולש עם זווית ישרה. צלעות הקטנות נקראות ניצבים. הצלע הארוכה נקראת היתר. אם יודעים את אורכי הניצבים, אפשר לחשב את אורך היתר. הרעיון היה ידוע עוד במצרים ובבבל לפני פיתגורס. גם בהודו ובסין היו דוגמאות שלו. המתמטיקאים היוונים, כמו אוקלידס, כתבו הוכחות ...
אראטה
אראטה, מילה לועזית שפירושה דף תיקונים. דף כזה מציין טעויות שמצאו אחרי הדפוס. לעתים קשה למצוא את כל הטעויות לפני ההדפסה. דף האראטה מסדר את הטעויות לפי העמודים. כל שורה כותבת איפה הטעות ומה התיקון. אם הטעות פוגעת במישהו יש לתקן אותה מהר. כיום מפרסמים את התיקונים גם באינטרנט, באתר של המו"ל או של המחב...
ספרות יוון העתיקה
זהו סיפור הכתובים ביוונית מלפני אלפי שנים. יש בה חמש תקופות חשובות. הלוחות הישנים ביותר הם רשימות מסחר. לא נמצאו ספרים רבים מאותה תקופה. זוהי התקופה של הומרוס ושל סיפורי הגבורה העתיקים. איליאדה הוא סיפור על מלחמת טרויה ואכילס. אודיסאה הוא סיפור על אודיסאוס. אפוס הוא סיפור ארוך, שבפעמים רבות הושר ...
חוג אוקלידי
חוג אוקלידי הוא חוג שבו אפשר לחלק עם שארית. חוג הוא קבוצה עם חיבור וכפל. תחום שלמות הוא חוג בלי בעיות של אפס בכפל. יש פונקציה שמודדת "גודל" של איבר. בכל חילוק a על ידי b אפשר למצוא מנה ושארית. השארית קטנה לפי המדד הזה. כך עובדים כמו בחילוק של מספרים בשלב בית הספר. דוגמה חשובה היא החוג של המספרים ה...
פירוק לשברים חלקיים
פירוק לשברים חלקיים מפצל שבר גדול לשברים קטנים ופשוטים. שבר כזה הוא יחס בין שני פולינומים. פולינום הוא סכום של חזקות של x. מראש מפצלים את המכנה לחלקים קטנים שאי אפשר לפרק עוד. אחר כך כותבים את השבר כסכום של חלקים שכל אחד מהם קל יותר. השבר (x+3) על (x^2-3x-40). מכפילים ומוצאים שהמכנה שווה ל-(x-8)(x...
הראשית
עיקרון ראשוני הוא רעיון בסיסי שאי אפשר להוכיח אותו ממשהו אחר. במתמטיקה קוראים לזה אקסיומה. אקסיומה היא חוק קטן שמקבלים כהתחלה. במדע אומרים גם "ממעקרונות ראשוניים" כשמבינים משהו מהחוקים הבסיסיים. בלוגיקה אפשר להוציא מסקנות ממשפטים אחרים. דוגמה פשוטה: כל בני האדם מתים; סוקרטס אדם; אז סוקרטס גם מת. אקס...
מחוגה
מחוגה היא כלי שמשרטט מעגלים. מחוגות היו בשימוש כבר לפני זמן רב. הן מוזכרות בספר ישעיה. אוקלידס כתב על שימוש בסרגל ומחוגה לציור צורות. במוזיאון הבריטי יש מחוגות רומיות. למחוגה שתי רגליים שמחוברות יחד. בצד אחד יש מחט. בצד השני יש עיפרון. כדי לצייר מעגל ננעוץ את המחט במקום אחד ונסובב את המחוגה. הרדיו...
משפט הקוסינוסים
משפט הקוסינוסים מסביר איך צלעות וזווית במשולש קשורות זו לזו. אם יש שלוש צלעות והזווית שמול אחת מהן היא גדולה או קטנה, המשפט עוזר לחשב את אורך אותה צלע. המשפט כללי יותר ממשפט פיתגורס. משפט פיתגורס הוא המצב המיוחד שבו הזווית היא ישרה. זווית ישרה זו זווית של 90 מעלות. הרעיון הזה היה ידוע עוד באוקלידס...
חפיפת משולשים
משולשים חופפים הם משולשים זהים בצורתם ובגודלם. זה אומר שצלעות מתאימות שוות, וזוויות מתאימות שוות. איזומטריה היא התאמה ששומרת מרחקים וזוויות. יש כמה כללים שמראים מתי משולשים חופפים: - צלע-זווית-צלע (SAS): שתי צלעות והזווית שביניהן שוות. - זווית-צלע-זווית (ASA): שתי זוויות והצלע שביניהן שוות. - צלע-צ...
מספר אי-רציונלי
מספר אי-רציונלי הוא מספר שאי אפשר לכתוב כמנה של שני מספרים שלמים. מספרים רציונליים כן אפשר לכתוב כך. כשכותבים אי-רציונלי בעשרוני, יש אחרי הנקודה הרבה ספרות שלא חוזרות. לכן כותבים רק חלק מהספרות ואחר כך נקודות. היו חכמים קדומים שלמדו גאומטריה וגילו שיש מספרים כאלה. אצל הפיתגוראים זה עורר הרבה מחלוק...
המשפט היסודי של האריתמטיקה
כל מספר טבעי ניתן לפרק ל"אבני בניין" מיוחדות שנקראות מספרים ראשוניים. מספר ראשוני הוא מספר הגדול מ‑1 שלא ניתן לחלק אותו בשום מספר חוץ מ‑1 ובעצמו. דוגמה כיפית: 1176 נוצר מ‑2 כפול 2 כפול 2 כפול 3 כפול 7 כפול 7. זהו הפירוק היחיד שלו לפריימים. אפשר להראות שכל מספר מתחלק לפריימים. אם מספר אינו ראשוני...