בעיית וארינג

בעיית וארינג עוסקת ביכולות הייצוג של מספרים כחזקות: עבור k נתון, האם קיים s כך שכל מספר טבעי ניתן לכתיבה כסכום של s חזקות שלמה בחזקה k. "חזקות k-יות" משמעותן מספרים מהצורה n^k, כלומר מכפלת n בעצמו k פעמים. אדוארד וארינג הציע את השאלה ב-1770 והילברט הוכיח בשנת 1909 כי תמיד קיים חסם כזה.

מגדירים את g(k) בתור המספר המינימלי s עם תכונה זו. דוגמאות קצרות עוזרות להבין: כדי לבטא את 7 דרושים ארבעה ריבועים (לכן g(2)=4, לפי משפט ארבעת הריבועים של לגראנז'), את 23 צריך להציג כסכום של תשע מעוצמות השלישיות, ואת 79 כ-19 מעוצמות הרביעיות. על בסיס עבודות שונות ידועים היום ערכים ספציפיים: g(2)=4, g(3)=9, g(4)=19, g(5)=37, g(6)=73 ועוד ערכים עוקבים.

בשנות ה-50 הוכיח יורי ליניק בעזרת טכניקות צפיפות את קיום g(k) באופן אלמנטרי. בהמשך דיקסון, פילאי, רבגנדיי וניבן הראו נוסחה כללית שמתאימה לכל k גדולים מספיק: היא כוללת חישוב של 1.5^k ו-2^k ומוסיפה תיקון קטן במקרים מיוחדים. עד כה לא נמצאו יוצאים מן הכלל עבור כל k עד מספר עצום של ערכים שנבדקו.

קיימת גם הגדרה חלשה יותר, G(k), שהיא המספר הקטן ביותר של חזקות-k הדרוש להצגת כל המספרים הגדולים מספיק, כלומר פרט למספר סופי של יוצאי דופן. ברור ש-G(k)≤g(k). ידועים כמה תוצאות מדויקות: G(2)=4 ו-G(4)=16; עבור חזקות שלישיות נמצא רק כי 4≤G(3)≤7 (נכון ל-2025).

מוגדרת גם פונקציה אחרת G^+(k) (שנקראת G_1 בעבודות מוקדמות), שבה מבקשים כיסוי של "כמעט כל" המספרים, כלומר היחס של יוצאי הדופן עד n שואף ל-0. ידועים ערכים מדויקים נוספים כגון G^+(3)=4 ו-G^+(4)=15.

וריאציה שונה מגדירה v(k) ככמות החזקות הדרושה אם מותר להשתמש בסימני פלוס ומינוס (±) בחיבורים. ידוע ש-v(2)=3; לגבי חזקות שלישיות יש גבול 4≤v(3)≤5.

בעיית וארינג ניתנת להכללה לכל חוג (קבוצה עם חיבור וכפל). למשל עבור חוגי פולינומים חקרו גרסה הומוגנית: כמה חזקות-k של תבניות הומוגניות צריך כדי לייצג תבנית הומוגנית אחרת. יש השערות ופתרונות לחלק מהמקרים; למשל בעיית וארינג החלשה בהקשר של פולינומים נפתרה עבור דרגה d=1 בכל n ו-k (תוצאה של Alexander-Hirschowitz משנת 1980).

בעיית וארינג שואלת: כמה חזקה- k צריכים כדי לכתוב כל מספר? חזקה פירושה n כפול n כמה פעמים. וארינג חשב על זה ב-1770. הילברט הוכיח שיש תמיד מספר כזה.

g(k) הוא המספר הכי קטן שעושה את זה. דוגמאות ידידותיות: לכל מספר אפשר לכתוב אותו כסכום של עד ארבעה ריבועים. לכן g(2)=4. צריך תשע קוביות כדי לכתוב את 23. צריך 19 חזקה רביעית כדי לכתוב את 79. יש גם ערכים נוספים כמו g(5)=37 ו-g(6)=73.

יש נוסחה שעובדת עבור כל k מספיק גדול. בדקו אותה עבור הרבה מאוד מספרים ולא מצאו יוצאי דופן קטנים.

מגדירים גם G(k): מספר החזקות הדרוש כדי לייצג את כל המספרים הגדולים מספיק. למשל G(2)=4 ו-G(4)=16. עבור שלישיות לא יודעים בדיוק, רק ש-4 עד 7.

את הבעיה אפשר להכליל גם לחוגים ולפולינומים. יש תוצאות מסוימות לפולינומים, כולל פתרון למקרה מסוים ממחקר בן 1980.