סכום של שני ריבועים
להציג מספר כ־a^2+b^2 פירושו לחבר שני ריבועים. ריבוע הוא מספר כפול עצמו. הבעיה ידועה מאוד. פיבונאצ'י הראה שאם יש הצגה לשני מספרים, אפשר להכין הצגה למכפלה שלהם. לכן מספיק לדעת להצגה של המספרים הראשוניים. פרמה גילה כלל חשוב: ראשוניים שנותרים 1 כשמחלקים ב־4 (משאירים שארית 1) אפשר לכתוב כסכום של שני רי...
משפט ארבעת הריבועים של לגראנז'
כל מספר טבעי אפשר לכתוב כסכום של ארבעה ריבועים. ריבוע = מספר כפול עצמו. לדוגמה: 107=8^2+5^2+3^2+3^2. את המשפט הוכיח לגראנז' ב‑1770. יש דרך חכמה שמראה שהמכפלה של שני מספרים שסכומם ארבעה ריבועים גם היא סכום ארבעה ריבועים. לכן מספיק להוכיח את זה עבור מספרים ראשוניים. מספר ראשוני הוא מספר שמתחלק רק ב‑1...
משחק קווים וריבועים
משחק הקווים וריבועים הוא משחק עט ונייר. משחקים לפחות שניים. המציא את המשחק המתמטיקאי אדוארד לוקאס. משחקים על לוח משובץ, לוח עם נקודות. בכל פעם מציירים קו בין שתי נקודות קרובות. אם הקו סוגר ריבוע, מסמנים את הריבוע בצבע וחוזרים לתור. המשחק נגמר כשאין עוד קווים לצייר. המנצח הוא מי שיש לו הכי הרבה ריב...
קרל גוסטב יעקב יעקובי
קרל גוסטב יעקב יעקובי נולד ב-1804 ונפטר ב-1851. הוא היה מתמטיקאי חשוב ממוצא יהודי. יעקובי נולד בפוטסדאם. אביו היה בנקאי. אחיו היה פיזיקאי ידוע. בגיל צעיר למד היטב והתחיל ללמוד מתמטיקה באוניברסיטה בברלין. בשנות ה-1820 קיבל דוקטורט ושינה את דתו כדי לקבל עבודה באוניברסיטה. הוא לימד בקניגסברג ואחר כך ב...
רגרסיה ליניארית
רגרסיה ליניארית היא דרך למצוא קו ישר שחוזה ערך Y ממספר X. הקו נכתב כך: Y = aX + b. a ו־b הם מספרים שמגדירים את הקו. מדי פעם הנתונים לא על הקו בדיוק. יש הבדלים שנקראים שגיאות. שגיאה היא המרחק בין נקודה על הגרף לבין הקו. שיטת הריבועים הפחותים בוחרת קו שמקטין את סכום ריבועי השגיאות. אם יש רק משתנה ...
שארית ריבועית
שארית ריבועית מודולו n היא מספר שמתקבל כשמשווים שארית של ריבוע. ("מודולו" פירושו שארית בחלוקה ב-n.)\n\nדוגמה פשוטה: מודולו 11 הריבועים של 1..10 נותנים את השאריות 1,3,4,5,9. אלה השאריות הריבועיות של 11.\n\nאם p הוא מספר ראשוני אי-זוגי, אז חצי מהשאריות הלא־אפס הן שאריות ריבועיות.\n\nכדי לבדוק עבור מספ...
משפט ההדדיות הריבועית
משפט ההדדיות הריבועית עוזר לדעת מתי יש פתרון למשוואה x^2 ≡ a כשחושבים מודול מספר ראשוני. חשבו מודולו כאילו בודקים שארית אחרי חלוקה. סימן לז'נדר אומר אם מספר a הוא "ריבוע" מודולו p. אם כן הוא 1. אם p מחלק את a הוא 0. אם לא, הוא -1. המשפט אומר שיש קשר בין (p מול q) ו-(q מול p) עבור שני ראשוניים אי-זו...
ניו הייבן
ניו הייבן היא עיר נמל בדרום קונטיקט, ארצות הברית. נמל פירושו מקום שבו ספינות עוגנות. העיר נמצאת ליד מצר לונג איילנד וליד נהר הקוויניפיאק. בשנת 2020 חיו בה כ-135,081 אנשים. זו העיר השלישית בגודלה במדינה. אוניברסיטת ייל נמצאת בעיר. אוניברסיטה היא בית ספר גדול ללימודים גבוהים. העיר כונתה גם “עיר האולמ...
פירוק לגורמים של מספר שלם
פירוק לגורמים means לחלק מספר למספרים קטנים יותר שמוכפלים יחדיו. מספרים ראשוניים הם אבנטי־בניין, אי אפשר לחלק אותם עוד. לכל מספר גדול מ-1 יש פירוק ראשוני יחיד. לדוגמה: 6936 מפורק כ-2^3·3·17^2. זה אומר 6936 עשוי ממכפלות של 2,3 ו-17. ככל שהמספר גדול יותר, קשה יותר לפרקו. זה שימושי במיוחד בהצפנה. מער...
קרל פרידריך גאוס
יוהאן קרל פרידריך גאוס (1777, 1855) היה מתמטיקאי גרמני מפורסם. הוא נחשב ל"נסיך המתמטיקאים" בגלל רעיונותיו הרבים. גאוס נולד במשפחה ענייה. כאדם צעיר הוא היה ילד פלא. מורה בבית הספר החליט להראות שהוא חכם: הוא חישב במהירות את סכום המספרים מ‑1 עד 100, והראה תבונה מיוחדת. ב‑1801 פרסם גאוס את הספר "מחקרי...
בעיית וארינג
בעיית וארינג שואלת: כמה חזקה- k צריכים כדי לכתוב כל מספר? חזקה פירושה n כפול n כמה פעמים. וארינג חשב על זה ב-1770. הילברט הוכיח שיש תמיד מספר כזה. g(k) הוא המספר הכי קטן שעושה את זה. דוגמאות ידידותיות: לכל מספר אפשר לכתוב אותו כסכום של עד ארבעה ריבועים. לכן g(2)=4. צריך תשע קוביות כדי לכתוב את 23. ...
משפט המספרים המצולעים
'משפט המספרים המצולעים' אומר שכל מספר חיובי אפשר לקבל כסכום של מספרים מצולעים. מספרים מצולעים - סוג מיוחד של מספרים שמתקבלים לפי כלל חישוב. המקרה s=4 נקרא משפט ארבעת הריבועים. לגראנז' הוכיח זאת ב-1772. גאוס הראה ב-1796 שאפשר להשתמש במספרים משולשיים. משולשיים קשורים לצורת משולש. פרמה אמר שהרעיון נכון...
שדה סדור
שדה סדור הוא אוסף של מספרים עם חיבור וכפל. יש בו גם סדר של "קטן עד גדול". הסדר צריך להתאים לחיבור ולכפל. אם x קטן מ‑y, אז x+z קטן מ‑y+z. אם 0 קטן מ‑x ו y קטן מ‑z, אז x·y קטן מ‑x·z. מספרים רציונליים (כמו 1/2) ומספרים ממשיים (כמו π) ניתנים לסידור בדרך רגילה. מספרים מרוכבים לא ניתנים לסידור. יש שדו...
פיט מונדריאן
פיט מונדריאן היה צייר הולנדי. הוא נולד בעיר אמרספורט. בתחילה צייר נופים וטבע דומם. ב־1905 ראה תערוכה של ואן גוך. זה השפיע עליו מאוד. הוא נחקר סגנונות כמו פוביזם וקוביזם. אחר כך עשה סדרת ציורים בשם "העצים". בשנת 1917 יצא מגזין בשם דה סטייל. סביבו נולדה תנועה שנקראת נאו-פלסטיסיזם. נאו-פלסטיסיזם אומר ...
ז'וזף-לואי לגראנז'
ז'וזף-לואי לגראנז' נולד בטורינו ב־1736 ומת ב־1813 בפריז. אביו עבד בחצר המלך. המשפחה איבדה חלק מרכושה. הוא למד מתמטיקה לבד ונהיה מוכשר מאוד. בגיל 19 כבר היה פרופסור במכללה בטורינו. אוילר, מדען מפורסם, עזר לו לקבל הכרה. לגראנז' פרסם מאמרים על גלי קול, תמות של מיתרים, וסדרות מספרים. זה היה השם של הס...
אי-שוויון הממוצעים
יש כמה דרכים לחשב "ממוצע" של מספרים. הנה ארבעה מהם: - ממוצע הרמוני: n חלקי סכום ההופכים. ההופך של מספר הוא 1 חלקי המספר. - ממוצע הנדסי: השורש של מכפלת כל המספרים. - ממוצע חשבוני: סכום המספרים חלקי n. - שורש ממוצע הריבועים: שורש של ממוצע הריבועים של המספרים. כל הממוצעים האלה מסודרים כך: הממוצע ההרמונ...
עד כדי (מתמטיקה)
"עד כדי" משמש כשמשווים דברים ומתעלמים מפרטים קטנים. "עד כדי סימן" אומר שהגודל זהה, אולי הסימן שונה. לפעמים אומרים ששדות או מבנים אחרים זהים מבחינת הצורה שלהם, למרות שהם שונים במראה. במספרים נכון שאפשר לפרק כל מספר לגורמים ראשוניים בדרך יחידה, רק סדר הגורמים יכול להשתנות. במדע משתמשים בביטוי גם כשיש...
קרס (כוכב לכת ננסי)
קרס הוא גוף גדול בחגורת האסטרואידים. זאת טבעת של סלעים בחלל בין מאדים לצדק. הוא התגלה ב-1 בינואר 1801 על ידי האסטרונום ג'וזפה פיאצי. הוא מצא את קרס בטעות. בתחילה חשבו שזה שביט. מדען בשם גאוס חישב איפה נמצא קרס אחרי כמה תצפיות. הוא פיתח שיטה להקטין שגיאות בחישוב. שמו של קרס מגיע מהאלה הרומית קרס...
29 (מספר)
29 (עשרים ותשעה; עשרים ותשע) הוא המספר אחרי 28 ולפני 30. 29 הוא מספר ראשוני. מספר ראשוני הוא מספר שמתחלק רק ב־1 ובעצמו. גם 31 הוא ראשוני, אז 29 ו־31 נקראים ראשוניים תאומים. 29 שווה לסכום של שלושה ריבועים עוקבים. ריבוע זה מספר כפול עצמו: אז 2 כפול 2, 3 כפול 3 ו־4 כפול 4 יחד נותנים 29. 29 מופיע גם ב...
מספר ריבועי
מספר ריבועי הוא מספר שקורעים אותו על ידי הכפלה של מספר בעצמו. למשל 3 כפול 3 שווה 9. מסתכלים על זה גם כארגון של דברים במרובע. אם אפשר לסדר מטבעות בריבוע שלם, יש לנו מספר ריבועי. עוד עובדה חמודה: כל ריבוע הוא סכום של מספרים אי-זוגיים מתחילים. למשל 5^2 = 25 וזה שווה ל־1+3+5+7+9. כמה ריבועים שכולם מ...