בעיית נתר היא שאלה חשובה בתורת גלואה. את הבעיה הציעה אמי נתר בשנות ה־30 של המאה ה־20, והיא עדיין לא פתורה לחלוטין.
נתון שדה F (קבוצה שבה מוגדרים חיבור וכפל) וחבורת תמורות G (חבורת חילופים של אינדקסים) הפועלת על הקבוצה 1,...,n. מרחיבים את הפעולה לשדה של פונקציות רציונליות K = F(x_1,...,x_n). כל תמורה g ב‑G מחליפה את המשתנים לפי האינדקסים, והפעולה על F שקולה לפעולה טריוויאלית.
השאלה היא האם שדה השבת K^G תמיד הוא הרחבה טרנסצנדנטית טהורה של F. הרחבה טרנסצנדנטית טהורה פירושה ש‑K^G נוצר על ידי כמה אלמנטים בלתי תלויים אלגברית, בדומה לשדה של משתנים חופשיים.
מקרים ידועים: התשובה חיובית אם G היא החבורה הסימטרית S_n. אם G היא החבורה האלטרנטיבית A_n, התשובה חיובית עבור n עד 5, ואינה ידועה ל‑n גדולות יותר.
תוצאות שליליות: בשנת 1969 הראה ריצ'רד סוואן שהתשובה שלילית מעל שדה המספרים הרציונליים כאשר G היא חבורה מחזורית מסדר 47. ההוכחה נשענה על תכונה של טבעות האינטגרלים בשדות ציקלוטומיים שאינן תחומים של אידיאלים ראשיים. ב‑1974 נתן הנדריק לנסטרה קריטריון לחבורות אבליות והראה דוגמה שלילית גם עבור חבורה מחזורית מסדר 8. בשנות ה‑80 נתנו סולטמן ובוגומולוב דוגמאות שליליות מעל שדות סגורים אלגברית, עם חבורות בעלות סדרות כחזקה של מספר ראשוני.
סיבת העניין: נתר הציעה את השאלה מתוך ניסיון לפתור את בעיית ההיפוך בתורת גלואה, שהשאלה בהן אילו חבורות יכולות להופיע כחבורות גלואה של הרחבות מסוימות. אם ל‑G יש תשובה חיובית מעל F, אפשר לממש את G כחבורת גלואה מעל אותו שדה.
בעיית נתר היא שאלה במתמטיקה על שדות וחבורות. שדה זו קבוצה עם חוקים לחיבור וכפל. חבורה זו קבוצה של חילופים של דברים.
מתחילים משדה F ועם n משתנים x1 עד xn. החבורה G מחליפה את המשתנים לפי המספרים שלהם. מתחשבים רק בביטויים שנשארים אותו הדבר אחרי כל החלפות אלו. שדה השבת הוא הקבוצה של כל הביטויים האלה.
השאלה: האם שדה השבת תמיד נבנה ממספר משתנים חופשיים? זאת אומרת האם אפשר למצוא משתנים חדשים שעושים ממנו שדה פשוט.
ידוע שהתשובה כן כאשר G היא כל החילופים האפשריים (חבורת S_n). כאשר G היא חבורת החליפות הזוגיות (A_n), זה נכון עד n שווה 5. על n גדולות אין וודאות.
גילו שגם יש דוגמאות שבהן התשובה לא נכונה. למשל ב־1969 ריצ'רד סוואן הראה דוגמה מעל המספרים הרציונליים עם חבורה מחזורית בגודל 47. מאוחר יותר נמצאו דוגמאות נוספות, גם עבור שדות סגורים אלגברית.
אמי נתר הציעה את השאלה כדי לעזור בבעיה אחרת, השואלת אילו חבורות יכולות להופיע כחבורות גלואה של הרחבות שדה. אם התשובה חיובית עבור חבורה מסוימת, אפשר להשתמש בזה כדי לבנות אותה כחבורת גלואה.
תגובות גולשים