בקבוק קליין

בקבוק קליין הוא משטח קומפקטי דו-ממדי, שאינו ניתן לשיכון במרחב האוקלידי התלת-ממדי, אלא רק במרחב בעל ארבעה ממדים או יותר. "קומפקטי" כאן אומר שהוא מוגבל וסגור. המשטח נחקר לראשונה על ידי פליקס קליין ב-1882. הוא בנה אותו על ידי חיבור שתי טבעות מביוס לאורך שפתן. טבעת מביוס היא רצועה שיש לה צד אחד בלבד.

קליין קרא למשטח בשם שמצביע על "משטח" בשפה הגרמנית, אך השם הפך בטעות ל"בקבוק". השגיאה התקבעה כשם המקובל.

אפשר להסביר את הבנייה בעזרת דימוי של בקבוק יין: חור בחלק התחתון, וכיפוף הצוואר כדי לחברו אל החור. בחלל התלת-ממדי נאלץ הצוואר לעבור דרך גוף הבקבוק כדי להגיע אל החור מלמעלה. בעולם ארבע-ממדי לא היה צורך בכך. לבקבוק קליין מבחינה טופולוגית אין פנים וחוץ, כלומר אין הפרדה אמיתית בין פנים לחוץ.

מתמטיקאים מייצגים משטחים גם על ידי הדבקת צלעות של מצולע. למשל, הדבקת שתי צלעות נגדיות של ריבוע באותו כיוון נותנת גליל; חיבור קצות הגליל באותו כיוון נותן טורוס. אם מדביקים את הסגירות בכיוונים הפוכים מקבלים בקבוק קליין. טבעת מביוס מתקבלת מהדבקה של שתי צלעות בריבוע בכיוונים הפוכים, ומחיבור שתי טבעות מביוס זו לזו ניתן לקבל בקבוק קליין. בקבוק קליין גם ניתן לחתוך לשתי טבעות מביוס, או לצמצם לטבעת אחת בדרך מסוימת.

בטופולוגיה מבינים "משטח" כמרחב שבו סביב כל נקודה ניתן למצוא שכבה שנראית כמו חלק קטן של המישור. יש משטחים סגורים שאין להם שפה או קצה, כמו הכדור והטורוס; ויש משטחים עם שפה, כמו העיגול הפתוח. טבעת מביוס אינה משטח סגור כי יש לה שפה, בעוד שבקבוק קליין הוא משטח סגור בלי שפה.

משטחים נבדלים לפי כיווניות (אוריינטביליות). משטח מכוון (ניתן לכיוון) כמו הכדור, יש לו למעשה "שני צדדים". משטח שאינו ניתן לכיוון כמו טבעת מביוס או בקבוק קליין מתאפיין בכך שאי אפשר להבחין באופן מוחלט בין ימין לשמאל לאורך מסלול מתאים. בקבוק קליין הוא המשטח הסגור שאינו ניתן לכיוון ומכאן גם אין לו שני צדדים.

הטבעה (immersion) היא העתקה הפיכה מקומית של משטח אל מרחב אחר. אף על פי שאי אפשר לשכן בקבוק קליין במרחב התלת-ממדי בלי לשנות את המבנה, אפשר להטביע אותו שם. בהטבעה יופיעו חתכים עצמיים שבהם המשטח חותך את עצמו. קיימות הטבעות שונות של בקבוק קליין במרחב התלת-ממדי, להן שמות שונים, והן אינן ניתנות לשינוי אחת לשנייה בלי לעבור דרך חיתוכים אחרים.

מיון משטחים סגורים נעשה לפי הכיווניות ומאפיין אוילר. לבקבוק קליין מאפיין אוילר השווה לאפס. אפשר לראות זאת בעזרת שיכון של גרף פרנקלין על המשטח, שמחלק אותו לשישה חלקים; לכן המשטח מקיים את משפט ששת הצבעים לצביעת הרכיבים שלו.

החבורה היסודית של בקבוק קליין ניתנת לתיאור על ידי הצגה עם גנרטורים וקשר יחיד: . לפי משפט ואן קמפן זו מכפלת היתוך של שתי חבורות ציקליות אינסופיות ביחס לתת-חבורות מאינדקס 2. מבנה זה הוא הרחבה מרכזית של החבורה הדיהדרלית האינסופית בחבורה הציקלית האינסופית.

הפילוסוף והפסיכואנליטיקאי ז'אק לאקאן השתמש במושגים של משטחים בלתי מכוונים, כולל בקבוק קליין, כדי להסביר רעיונות על מבנים נפשיים. הוא טען שהאפשרות לחתוך משטחים שונים ולראות טבעות מביוס קשורה להבנת תצורות מסוימות של מחלות נפש ושכל חיתוך בשטח יכול לשאת משמעות מטאפורית עבורה.

מילות מפתח: בקבוק קליין טבעת מביוס טופולוגיה משטח אוריינטביליות מאפיין אוילר חבורה יסודית הטבעה

בקבוק קליין הוא צורה מיוחדת במתמטיקה. זו משטח דו־ממדי שלא ניתן לשים אותו בלי שהחלקים יחזיקו זה את זה במרחב התלת־ממדי. בעולם עם ארבעה ממדים זה היה קל יותר.

אפשר לדמיין בקבוק יין עם חור בתחתית. אם נקלף את צוואר הבקבוק וננסה לחברו אל החור מלמעלה, בצורת פלא, זה יוביל לכך שהצוואר יעבור דרך גוף הבקבוק. בעולם שלנו זה קשה. בבנייה המתמטית אין "פנים" ו"חוץ" - אין באמת נפח פנימי.

משטח הוא שטח שכל נקודה בו נראית מקומית כמו חלק קטן מהמישור. יש משטחים עם קצה ויש משטחים בלי קצה. לדוגמה, לכדור אין קצה. לטבעת מביוס יש קצה. בקבוק קליין הוא משטח סגור, כלומר אין לו קצה.

יש משטחים שיש להם שני צדדים. יש משטחים שיש להם רק צד אחד. טבעת מביוס היא דוגמה של משטח בעל צד אחד. גם בקבוק קליין הוא כזה. לכן הוא לא ניתן לצביעה בשני צבעים מצד ומצד.

לא ניתן לשכן בקבוק קליין במרחב התלת־ממדי בלי שיישארו חיתוכים שבהם הצורה עוברת דרך עצמה. קוראים לזה חיתוך עצמי. יש דרכים שונות לצייר את הצורה במרחב התלת־ממדי, והכל מופיע עם חיתוכים.

בקבוק קליין מעניין כי הוא מראה שאפשר לקבל צורה עם צד אחד בלבד ושאין לה באמת "פנים" ו"חוץ". זה רעיון מפתיע ומגניב שבעזרתו חוקרים מתמטיקאים משטחים מיוחדים.