אנליזה מתמטית

אָנָלִיזָה מָתֶמָטִית חוקרת פונקציות ממשיות ומרוכבות. המרכזי באנליזה הוא רעיון הגבול, שהוא הדרך להגדיר שינויים קטנים ולמדוד התקרבות של ערכים.

רציפות היא תכונה של פונקציה שאפשר "לצייר בלי להרים עט"; ההגדרה המדויקת משתמשת בגבול. משפטים מרכזיים בתחום כוללים את משפט ערך הביניים, משפטי ויירשטראס ומשפט קנטור על רציפות במידה שווה (מִדָּה שֶׁמבטיחה שהפונקציה משתנה בצורה אחידה).

גזירה ונגזרת: פונקציות גזירות הן חלקות, כלומר אין להן "שפיצים". הנגזרת היא כלי למדידת השינוי הרגעי של פונקציה.

אינטגרציה היא סכימה באמצעות גבולות. במקום לחשב סכומים עם דגימות בודדות, האינטגרל לוקח בחשבון את כל נקודות התחום.

טורים אינסופיים הם סכומים עם אינסוף איברים. בהקשר זה שואלים אם סכום הטור מתקיים (כלומר, האם הוא מתכנס) ומהי התכונה של הגבוה אליה הוא מתכנס. התכנסות במידה שווה היא סוג חזק של התכנסות ששומר על תכונות של הפונקציות. טורי החזקות (power series) הם דוגמא חשובה; דרכם מייצגים הרבה פונקציות מוכרות.

אנליזה בוחנת גם פונקציות מרובות משתנים ופונקציות מרוכבות. דיפרנציאביליות (יכולת לקרב פונקציה מרובת משתנים בקו ישר ליניארי) היא הכללה של נגזרת במשתנה אחד. בניתוח מרוכב, ההגדרות של נגזרת ואינטגרל מובילות לתכונות חזקות יותר מאשר במקרה הממשי.

היסודות של המרחבים הנחקרים באנליזה נוגעים לטופולוגיה. מרחבים מטריים הם הרחבה של מושג המרחק; המטריקה היא דרך כללית למדוד מרחקים. המושג של קבוצה פתוחה ובסיסיה מוביל למרחבים טופולוגיים. בטופולוגיה חוקרים תכונות כמו קומפקטיות (צורה של "קטנות") וקשירות (הקבוצה מקושרת בלי קטעים נפרדים). פונקציות רציפות הן כלי מרכזי בשטח זה.

משוואות דיפרנציאליות עוסקות בפונקציות ונגזרותיהן. הן מופיעות במדעים רבים. חוקרים קיום ויחידות של פתרון, ושיטות למציאת פתרונות מקורבים. יש הבדל בין משוואות דיפרנציאליות רגילות, לפונקציות של משתנה אחד, לבין משוואות דיפרנציאליות חלקיות, לפונקציות מרובות משתנים.

תורת המידה מגדירה איך למדוד אורך ו"גודל" של קבוצות מורכבות. מדידה זו מאפשרת לבנות את אינטגרל לבג ולחקור קבוצות מוזרות כמו קבוצת קנטור או פרקטלים.

רוב ענפי המתמטיקה כוללים תחומי אנליזה מתאימים, כמו ניתוח פונקציות, משוואות דיפרנציאליות, טופולוגיה ותורת המידה.

אָנָלִיזָה היא ענף במתמטיקה שעוזר להבין פונקציות. פונקציה היא חוק שקושר מספרים.

גבול הוא רעיון של התקרבות. רציפות אומרת שאפשר לצייר את הגרף בלי להרים עט. זה אומר שאין קפיצות פתאומיות.

נגזרת מודדת כמה פונקציה משתנה מהר. לומר שהפונקציה גזירה זה אומר שהיא חלקה, בלי שפיצים.

אינטגרל הוא דרך לסכום את כל הערכים של פונקציה. זו סכימה שמחשבת אזורים וגדלים.

טורים הם סכומים עם הרבה איברים. לעיתים הם מתכנסים למספר או לפונקציה.

חוקרים גם פונקציות עם יותר משתנים. דיפרנציאביליות (יכולת להתקרב בקו ישר) היא רעיון חשוב כאן.

חוקרים מרחבים של נקודות. מטריקה היא חוק למדידת מרחקים. טופולוגיה בוחנת תכונות של קבוצות, כמו אם הן מחוברות.

יש גם משוואות דיפרנציאליות. אלה משוואות שאומרות איך גדלים ומשתנים דברים.

תורת המידה עוזרת למדוד קבוצות מוזרות. בעזרת זה מגדירים את אינטגרל לבג.