מישור מור

מישור מור מוגדר כחצי המישור העליון של המישור האוקלידי: M = {(x,y) : y ≥ 0}.


נקודות עם y>0 מקבלות את הטופולוגיה הרגילה של המישור (מטרית). נקודה על הישר x (כלומר (a,0)) מקבלת בסיס פתיחות מיוחד: כל מערכת שכנות מורכבת מהנקודה הבודדת {(a,0)} יחד עם כדורים אוקלידיים שמשתיקים לישר בנקודה זו. הכדורים האלה הם מהצורה B_r(a,r), מרכזם מעל הישר והם נוגעים בו בנקודה (a,0).


מישור מור הוא ספרבילי (יש בו קבוצה בת-מנייה שהיא צפופה). עם זאת, תת-המרחב X של נקודות על ציר ה-x מקבל טופולוגיה דיסקרטית: כל נקודה שם היא פתוחה. מאחר ש-X אינו בת-מנייה, הוא אינו ספרבילי.

המישור אינו קומפקטי, ואף אינו קומפקטי מקומית. לדוגמה, לנקודת הראשית (0,0) אין סביבה קומפקטית: כדור המשיק לישר סביב הראשית וצורת הסגורה שלו אינם קומפקטיים, כי אפשר לבנות סדרה על שפת הכדור שמתקרבת לראשית באוקלידי אך אינה מתכנסת במישור מור.

המרחב מקיים את אקסיומת המנייה הראשונה (first countable) אך לא מקיים את תכונת לינדלוף, ולכן גם אינו מקיים את אקסיומת המנייה השנייה (second countable). הוא מרחב אוסדורף (T2) ומקיים גם את T3 (הפרדה של נקודות וסגורים), אך אינו נורמלי.

ניתן להוכיח שמישור מור הוא מרחב בר (Baire), אף שאינו מקיים את משפט הקטגוריה של בר.

מישור מור הוא חצי מישור עליון: כל הנקודות עם y ≥ 0.


נקודות שמעל הציר מתנהגות כמו במישור הרגיל. נקודה על הציר (a,0) מקבלת שכנות מיוחדות. כל שכונה כזו כוללת את הנקודה עצמה ו"בועות" שמגעות לציר בנקודה זו. ה"בועות" הן עיגולים שמרכזם מעל הציר ונוגעים בו.


המקום הוא ספרבילי. ספרבילי אומר: יש קבוצה מסודרת וספירה קרובה לכל נקודה.

הציר עצמו מקבל טופולוגיה דיסקרטית. דיסקרטית (כל נקודה פתוחה) משמעותה שכל נקודה עומדת לבד.

המישור לא קומפקטי. קומפקטי (בקיצור) אומר שאין לו תכונות "קטנות" שהיו מצילות אותו מכל כיסוי. אין גם סביבה קומפקטית סביב הראשית (0,0).

המקום הוא אוסדורף (אפשר להפריד נקודות בשכנות נפרדות). הוא גם T3, אך אינו נורמלי.

מישור מור הוא מרחב בר, יש בו תכונות מצטברות חשובות למרות הגבולות המיוחדים.