גובה (גאומטריה)

בגאומטריה המושג "גובה" מתייחס לקטע שמסומן בדרך כלל ב-h, מהמילה האנגלית height (גובה). הכוונה היא לקטע שמודד את המרחק האנכי מהבסיס לצורה או לגוף.


במשולש יש שלושה גבהים. שלושת הגבהים נפגשים בנקודה אחת. עובדה זו קשורה למשפט צ'בה (הצגה מתמטית שעוסקת בקווים החוצים משולש).

הנקודה שבה הם נפגשים נמצאת, יחד עם מפגש התיכונים (הקטעים המחברים כל קודקוד למרכז הנגדי) ומפגש האנכים האמצעיים (האנכים שמחלקים את הצלע לשני חלקים שווים), על ישר אוילר.

אם שני משולשים זהים בגבהים שלהם, הם חופפים. כלומר שלושת הגבהים מאפיינים את המשולש. אם נסמן את הגבהים h1,h2,h3 לצלעות a1,a2,a3, אז הצלעות קשורות לשטח S בביטוי ai = 2S / hi. קיימת גם נוסחה מפורשת שמבטאת את S בעזרת h1,h2,h3.

הזווית בין שני גבהים משלימה לזווית בין הצלעות המתאימות. אם γ היא הזווית בין שתי צלעות a ו-b, אז אפשר לכתוב את שטח המשולש כ־S = 1/2 · sin(γ) · a · b. מבט אל הביטויים עם גבהים נותן גם S = 1/2 · h_a · h_b / sin(γ).

מסקנות נוספות: בין כל המשולשים שיש להם גבהים נתונים לשתי צלעות a ו-b, המשולש שבו a ו-b מאונכים (משולש ישר זווית) מקבל את השטח המקסימלי. אם לשני גבהים יש את אותו הערך, המשולש הוא שווה־שוקיים. כמו כן, בעיה קלאסית (1775) מראה כי בין כל המשולשים שאחד מקודקודיהם נמצא על כל צלע של משולש חד־זווית נתון, זה שמחבר את עקבי הגבהים נותן היקף מינימלי.


במצולעים הגובה משמש לחישוב שטח. בגופים תלת־ממדיים הגובה משמש לחישוב נפח.


הרעיון ששלושת גבהי המשולש נפגשים לא נכתב במפורש בטקסטים היווניים ששרדו, אך שימש כצעד בספר "הלמות" שיוחס לארכימדס. פאפוס מאלכסנדריה הזכיר את הטענה גם כן.

הטענה נוסחה והוכחה במפורש על ידי אל־נאסווי במאה ה־11, אשר ייחס אותה לאל־קושי מהמאה ה־10. תרגומים לטינית במאה ה־17 הביאו לכך שהמשפט הוכח מחדש באירופה מספר פעמים. בין המוכיחים בלשונה האירופית היו סמואל מרולואיס (1619), אייזק ניוטון (1680) וויליאם צ'אפל (1749).

בעקבות זאת ניתנו הוכחות אלגנטיות בידי פרנסואה סרבויס (1804) ולפי גרסה של גאוס (1810), ששתיהן משתמשות ברעיון של בניית משולש חדש באמצעות ישרים המקבילים לצלעות כך שהגבהים של המקורי הופכים לאנכים אמצעיים של החדש.

גובה הוא קטע שאנו מסמנים ב-h. המילה מגיעה מהמילה האנגלית height.


בכל משולש יש שלושה גבהים. כל הגבהים נפגשים בנקודה אחת. נקודה זו קשורה לקווים אחרים במשולש.

אם יודעים את שלושת הגבהים, אפשר לדעת את המשולש. הצלעות קשורות לשטח על פי יחס פשוט: אורך צלע = 2 × שטח ÷ הגובה המתאים.

הזווית בין שני גבהים משלימה לזווית בין הצלעות. במשולש שבו שתי צלעות מאונכות, השטח הוא הכי גדול מבין אלו עם אותם גבהים.

אם שני גבהים שווים, המשולש הוא שווה־שוקיים.


משתמשים בגבהים כדי לחשב שטחים במצולעים. בגופים משתמשים בגובה כדי לחשב נפח.


הרעיון ששלושת הגבהים נפגשים שימש כבר בעת העתיקה. אל־נאסווי כתב על כך במאה ה־11. בגירסאות מאוחרות זה הוכח שוב על ידי מתמטיקאים שונים במאה ה־17 וה־18.