גרדיאנט הוא הכללה של הנגזרת כאשר הפונקציה תלויה בכמה משתנים. הגרדיאנט הוא אופרטור וקטורי שמופעל על שדה סקלרי. שדה סקלרי (פונקציה שמכילה לכל נקודה מספר) מקבל לכל נקודה וקטור של הגרדיאנט.
כיוון הווקטור מראה את הכיוון שבו הפונקציה עולה הכי מהר. גודל הווקטור מראה כמה השינוי חזק באותו כיוון. בדוגמה של אזור הרים, הגובה בכל נקודה הוא שדה סקלרי. הגרדיאנט מנחה לכיוון שבו השיפוע גדול ביותר. כדור שישחררו בנקודה יתגלגל בכיוון ההפוך לוקטור הגרדיאנט.
מסמנים את הגרדיאנט ב־grad f או ב־∇f. הסמל ∇ נקרא "דל" או "נבלה" והוא אופרטור גזירה. במערכת קרטזית תלת־ממדית הגרדיאנט נכתב כמכפלה של נגזרות חלקיות (נגזרת לפי משתנה מסוים) בווקטורי היחידה:
∇f = (∂f/∂x) \, · \hat{x} + (∂f/∂y) \, \hat{y} + (∂f/∂z) \, \hat{z}.
אם ψ(x,y,z) היא פונקציה סקלרית, הגרדיאנט שלה הוא סכום הנגזרות החלקיות לפי כל ציר כפול וקטור היחידה המתאים.
ההסבר משתמש במכפלה הסקלרית. המכפלה גדולה ביותר כשזווית בין הווקטורים היא אפס. לכן הכיוון שממקסם את השינוי הכיווני הוא אותו כיוון של הגרדיאנט.
בפיזיקה, אם U(r) הוא פוטנציאל, הכוח הוא −∇U. כלומר הכוח מושך את הגוף לכיוון שבו הפוטנציאל קטן ביותר.
דוגמה חישובית: עבור f(r)=|r| נקבל ∇f = r/|r| שזה וקטור יחידה בכיוון הרדיאלי.
במכוון מתמטי הגרדיאנט קשור לדיפרנציאל df, פונקציונל שמקבל וקטור ומחזיר סקלר. בעזרת מטריקה אפשר "להעלות אינדקסים" ולהתאים בין df ל־∇f כך ש־df(v)=g(v,∇f), כאשר g היא המטריקה.
במערכת קואורדינטות עם קנה מידה h_i לכל כיוון, מקבלים נוסחה כללית:
∇f = Σ_i (1/h_i) (∂f/∂q^i) \hat{e}_i.
אם f חלקית רציפה, האינטגרל הקווי של ∇f בין נקודות A ו‑B שווה ל־f(B)−f(A). לכן לשדה ∇f אין סיבוב: ∇×∇f=0.
גרדיאנט הוא חץ שמראה לאן משהו עולה הכי הרבה. שדה סקלרי הוא פונקציה שנותנת מספר לכל נקודה.
תארו מקום הררי. גובה כל נקודה הוא מספר. הגרדיאנט בנקודה מראה את כיוון העלייה הכי תלול. אם משחרירים כדור, הוא יגלגל בכיוון ההפוך לחץ הזה.
כותבים גרדיאנט כך: ∇f. הסימן ∇ קוראים "דל" או "נבלה". בכתיבה פשוטה בתלת־ממד זה (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z). נגזרת חלקית אומרת לשים לב לשינוי לפי משתנה אחד בלבד.
אם יש שדה פוטנציאל U, הכוח הוא −∇U. זה אומר שהכוח מושך לכיוון שבו U קטן יותר.
האינטגרל של ∇f בין שתי נקודות שווה פשוט להפרש בערכים. לכן המסלול לא משנה את התוצאה.
(מילים מסובכות: "נגזרת חלקית" = שינוי לפי משתנה אחד; "מטריקה" = דרך למדוד מרחקים.)
תגובות גולשים