נגזרת

הנגזרת היא דרך לתאר כמה פונקציה משתנה כשהפרמטר שלה משתנה. במובן פשוט, היא אומרת כמה הערך של הפונקציה משתנה ביחס לשינוי קטן בפרמטר. בפיזיקה הנגזרת חשובה מאוד: המהירות היא הנגזרת של מיקום לפי זמן, והתאוצה היא הנגזרת של מהירות לפי זמן.

הפונקציה הנגזרת

הנגזרת של פונקציה ממשית f בנקודה x מוגדרת כגבול של יחס השינוי (f(x+Δx)-f(x))/Δx כאשר Δx שואף לאפס, אם הגבול קיים וסופי. זו גם ההגדרה של שיפוע המשיק לגרף בנקודה. אם לפונקציה יש נגזרת בכל נקודה של קטע, אומרים שהיא גזירה בקטע.

ההגדרה שקולה היא הגבול כאשר x→x0 של (f(x)-f(x0))/(x-x0). הפונקציה הנגזרת מקושרת לפונקציה המקורית: את f'(x) מסמנים גם ב-df/dx או "+" מעל f כאשר הדיפרנציאלים מתייחסים לזמן.

סימוני לייבניץ שימושיים בפיזיקה ובאנליזה. לדוגמה df/dt מסמן נגזרת מלאה לפי t, וd^2f/dt^2 נגזרת שנייה. בנגזרות חלקיות מסמנים ∂f/∂x כאשר גוזרים לפי x כששאר המשתנים נתונים כקבועים.

יש כללים לבניית נגזרות מפעולות על פונקציות: לינאריות, כלל המכפלה, כלל השרשרת להגדרת נגזרת של הרכבת פונקציות, וכללים לחזקות ולפונקציות אלמנטריות. כללים אלה מאפשרים לחשב נגזרת גם מפורמלית של פונקציה מורכבת.

לדוגמה, הפונקציה f(x)=x^4 + sin(x^2) - ln(x) e^x + 7 נגזרת ל:

f'(x)=4x^3 + 2x cos(x^2) - (1/x) e^x - ln(x) e^x.

בבנייה זו השתמשנו בכלל השרשרת ובכלל המכפלה, ובנגזרות ידועות של פונקציות בסיסיות.

אפשר לקרב נגזרת גם כשיש ערכים בדידים של הפונקציה. שיטות נומריות משתמשות בערכי הפונקציה בנקודות קרובות כדי להעריך את השיפוע.

גזירות בנקודה מחייבת רציפות שם: אם f גזירה אז היא רציפה. ההפך אינו נכון תמיד. למשל |x| רציפה אבל לא גזירה ב-0. יש פונקציות רציפות בכל נקודה שאינן גזירות בשום נקודה (פונקציית ויירשטראס).

הנגזרת עצמה לא חייבת להיות רציפה. דוגמה: הפונקציה f(x)=x^2 sin(1/x) ל-x≠0 ו-f(0)=0 היא גזירה ב-0 עם f'(0)=0, אבל f'(x) מתנהגת מתנדנד כשמקרבים ל-0 ולכן אינה רציפה שם.

בניגוד לאי-רציפויות מסוג "קפיצה", לנגזרת אסור להיות אי-רציפה בקפיצה; היא מקיימת תכונות מעבר, כמו תכונת דארבו (התכונה שאם הנגזרת מקבלת שני ערכים אז היא מקבלת גם את כל הערכים ביניהם).

נושא זה מתייחס לקשרים בין ערך הנגזרת לנקודות מיוחדות בגרף, כמו נקודות קיצון ונקודות פיתול.

משפט פרמה אומר שבכל נקודת מקסימום או מינימום מקומי של פונקציה גזירה הנגזרת חייבת להיות אפס. ההפך אינו תמיד נכון: נגזרת אפס יכולה להופיע גם בנקודת פיתול או בנקודה אחרת שאינה קיצון.

אם פונקציה ניתנת לגזירה שוב ושוב, אפשר להשתמש בנגזרת הראשונה הלא-אפסית כדי לקבוע את טיב הנקודה: אם זו מסדר זוגי מדובר בנקודת קיצון, ואם אי-זוגי - בנקודת פיתול.

דוגמאות קצרות: y=(x-1)^2 יש מינימום ב-x=1; y=-x^2 יש מקסימום ב-0; y=x^3 יש פיתול ב-0.

משפטי רול ולגראנז' קושרים בין ערכי הפונקציה בקצוות קטע לערכים של הנגזרת בפנים. משפט הערך הממוצע גורס שיש נקודה שבה הנגזרת שווה לשיפוע המיתר המחבר שני הקצוות.

ניתן להגדיר נגזרת גם לפונקציות מרוכבות. כאן הגבול נלקח במישור המרוכב, ולכן הדרישות לקיומה של נגזרת מרוכבת חזקות יותר. תנאי קושי-רימן נותן כשדרוש ומספיק לנגזרת מרוכבת.

כאשר יש כמה משתנים, מדברים על נגזרות חלקיות, כלומר גזירה לפי משתנה אחד כאשר השאר מקובעים. מושג החוזק הוא דיפרנציאביליות, שמשמעותו קיום קירוב ליניארי טוב; יש פונקציות שבהן כל הנגזרות החלקיות קיימות אך אין דיפרנציאביליות.

באלגברה ניתן להגדיר אופרטור שנקרא נגזרת פורמלית על פולינומים, כך ש(x^n)' = n x^{n-1}. הנגזרת הפורמלית שומרת על תכונות בסיסיות של הנגזרת הרגילה ומשתמשים בה לניתוח מבנים אלגבריים.

בהרחבות למרחבים בנך קיימות שתי הגדרות: נגזרת פרשה (אופרטור ליניארי וחסום) ונגזרת גאטו (פחות נוקשה). אם קיימת נגזרת פרשה אז יש גם נגזרת גאטו והיא שווה לה.

אפשר לגזור שוב את הנגזרת ולקבל נגזרת שנייה. הנגזרת השנייה מספקת מידע על קעירות וקמירות של גרף הפונקציה. בנקודת קיצון סטנדרטית, נגזרת שנייה חיובית מצביעה על מינימום, ושלילית על מקסימום. בנקודת פיתול הנגזרת השנייה מתאפסת.

יש טבלאות ידועות של נגזרות לפונקציות בסיסיות כמו חזקות, מעריכיות, לוגריתמים, טריגונומטריות והיפרבוליות. אלה משמשות לחישובים בעזרת כללי הגזירה.

הנגזרת אומרת כמה פונקציה משתנה כשמשנים מעט את הקלט. הקלט יכול להיות זמן או מספר אחר.

הנגזרת בפיזיקה

לדוגמה במהירות: המהירות היא השינוי של המקום לפי הזמן. התאוצה היא שינוי המהירות לפי הזמן.

הנגזרת היא הגבול של יחס השינוי (השינוי בערך חלקי השינוי בקלט) כשהשינוי קטן מאוד. זה גם השיפוע של המשיק לעקומה בנקודה. שיפוע אומר כמה תלול הקו.

מוסכמים לכתוב למשל df/dt כדי לציין נגזרת לפי t. כשמוסיפים נקודות מעל שם הפונקציה זה מציין נגזרות לפי זמן.

יש כללים פשוטים לחישוב נגזרות של חיבור, מכפלה והרכבה של פונקציות. כללים אלה מפשטים חישובים.

למשל לפונקציה מורכבת מתקבלים ביטויים המורכבים מנגזרות של חלקים פשוטים.

אם פונקציה גזירה אז היא רציפה שם. רציפות פירושה שאין קפיצות בערך. ההפך לא תמיד נכון: יש פונקציות רציפות שאינן גזירות.

אם יש מקסימום או מינימום מקומי, בדרך כלל הנגזרת שם שווה לאפס. אבל נגזרת אפס לא תמיד אומרת שקיים מקסימום או מינימום.

דוגמאות פשוטות: y=(x-1)^2 יש מינימום ב-x=1. y=x^3 יש נקודת פיתול ב-0.

גם לפונקציות ממספרים מורכבים אפשר להגדיר נגזרת. שם הדרישות חזקות יותר.

אם יש יותר משתנה, גוזרים לפי כל אחד בנפרד. זאת נגזרת חלקית. יש גם מושג חזק יותר שנקרא דיפרנציאביליות.

כאשר גוזרים פעמיים מקבלים נגזרת שנייה. היא עוזרת לדעת אם נקודה היא מינימום או מקסימום. אם היא חיובית לעיתים זו מינימום, ואם שלילית זו מקסימום.

יש רשימת נגזרות ידועות לפונקציות בסיסיות. אלו עוזרות לחשב במהירות.