הבינום של ניוטון

במתמטיקה, הבינום של ניוטון נותן דרך לפתח חזקות של סכום של שני איברים. כלומר, (x+y)^n מתרחב לסכום של מושגי הצורה a x^b y^c עם b+c=n. המקדם a נקרא מקדם בינומי.

לדוגמה: (x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.

מקדמי הבינום מסומנים {n \choose k} ומוגדרים על־ידי {n \choose k} = n!/(k!(n-k)!).
הסימן "!" (עצרת) הוא מכפלת כל המספרים הטבעיים מ־1 עד המספר הנתון.
אפשר גם לכתוב את הביטוי כמכפלה יחסית של גורמים, והערכים תמיד שלמים.

מקדמי הבינום מסודרים במשולש פסקל. כל מספר במשולש שווה לסכום שני המספרים שמעליו.

מקדמי הבינום משמשים בקומבינטוריקה והסתברות. {n \choose k} מודד את מספר הדרכים לבחור k איברים מתוך קבוצה של n איברים.
אם מציבים x=y=1 בנוסחה מקבלים 2^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}, כלומר סכום שורה במשולש פסקל שווה ל־2^n.

מגלים כי (x+y)^n הוא מכפלה של n ביטויים (x+y). כל איבר בסכום הוא תוצאה של בחירה של x או y מכל סוגריים. לבחירה של k פעמים x יש {n \choose k} סדרות בחירה, ולכן זהו המקדם של x^k y^{n-k}.

מניחים נכונות עבור n=i ואז מוכיחים אותה עבור i+1 על ידי כפל נוסף ב-(a+b) ושימוש בזהות {i \choose k-1}+{i \choose k}={i+1 \choose k} (זהות משולש פסקל).

נציב y=1 ונקבל גרסה עם משתנה אחד: (1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k.

הנוסחה הלינארית הייתה מוכרת כבר למתמטיקאים קדומים. בין השמות המוזכרים: יאנג חווי, עומר ח'יאם ופסקל. ניוטון הרחיב את הרעיון לגרסה כללית יותר.

ניוטון הוכיח שניתן להגדיר (1+x)^r כטור אינסופי גם כש-r אינו שלם: (1+x)^r = \sum_{j=0}^\infty {r \choose j} x^j, כאשר {r \choose j} = r(r-1)\cdots(r-j+1)/j!. בטור כזה ייתכן צורך בהתכנסות, והנוסחה תקפה בתנאים מתאימים.

לדוגמה, עבור r=1/2 מתקבל פיתוח של \sqrt{1+x}, ועבור r=-1 מתקבל הטור הגאומטרי 1-x+x^2-\dots .

הגרסה הכללית ניתנת להוכחה על ידי פיתוח טור טיילור של הפונקציה f(z)=(1+z)^r.

בינום הוא סכום של שני איברים, למשל x+y. נוסחת הבינום מראה איך לפתח (x+y)^n.

לדוגמה קטן: (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.
עוד דוגמה: (x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.

המספרים 1,2,6,4 שמופיעים נקראים מקדמי בינום. הם נכתבים {n \choose k}.
עצרת (!) היא מכפלת כל המספרים מ־1 עד המספר הנתון.

מקדמי הבינום מסודרים במשולש פסקל. כל מספר במשולש הוא סכום שני המספרים מעליו.

{n \choose k} סופר כמה דרכים לבחור k פריטים מתוך n פריטים. אם שמים x=y=1 מקבלים 2^n.

ניוטון הרחיב זאת גם למקרים מיוחדים. לדוגמה, יש ביטויים כמו \sqrt{1+x} שמתפתחים לטור של חזקות.

( x+y)^n הוא סכום של כל האפשרויות לבחור x או y בכל פעם. מספר הפעמים שכל מונח מופיע נקבע על־ידי הדרך לבחור את המיקומים של x.