אינדוקציה מתמטית
אינדוקציה מתמטית היא דרך להוכיח שמשהו נכון עבור כל המספרים הטבעיים. ההוכחה עובדת בשני שלבים פשוטים: 1) בוחנים את המספר הראשון. זה נקרא בסיס האינדוקציה. 2) מראים שאם זה נכון עבור n, אז גם עבור n+1. זה נקרא צעד האינדוקציה. אם שני השלבים נכונים, אז זה נכון לכל המספרים. הרעיון היה בשימוש כבר במאות...
אינדוקציה
אינדוקציה (בעברית: איכלול) היא דרך ללמוד כלל מתוך דוגמאות. רואים כמה מקרים וחושבים שזה נכון גם לכל המקרים האחרים. לדוגמה: אם כל החסידות שראינו היו לבנות, נניח שכל החסידות לבנות. אבל ייתכן שמחר נראה חסידה שחורה, ואז המסקנה תתבטל. גם העובדה שהשמש זורחת כל בוקר אינה מבטיחה שתזרח תמיד. מצבים בחלל ישתנ...
בעיית האינדוקציה
בעיית האינדוקציה היא שאלה בפילוסופיה. אינדוקציה (שיטה שסומכת על תצפיות חוזרות כדי להסיק כלל) הוצגה בברור על ידי דייוויד יום. יום אמר שאם מנסים להראות שאינדוקציה עובדת לוגית, משתמשים באינדוקציה עצמה. זה הופך את ההסבר למעגלי. הבעיה מראה שקשה להצדיק חוקים מדעיים על בסיס ניסויים בודדים. דוגמה: כשכדור...
עברית בעברית
"עברית בעברית" היא שיטה ללימוד עברית. יוצר השיטה הוא יצחק אפשטיין. הרעיון הוא ללמד כמו שלומדים שפת אם. כלומר ללמוד בעזרת חושים, שירים ומשחקים. לומדים דוגמאות ואז מבינים את הכלל. לומדים מהקל אל הקשה. כל זה קשור למה שמעניין את הילד ולסביבה שבה הוא חי. השיטה הוצגה ב־1898 ונהייתה נפוצה כשהשפה חזרה לה...
משפט הקומפקטיות
משפט הקומפקטיות אומר שאם כל קבוצה קטנה של משפטים מתקיימת, גם כל הקבוצה כולה יכולה להתקיים. מודל הוא מקום שבו המשפטים נכונים.\n\n= הוכחות למשפט =\nיש כמה דרכים להוכיח את המשפט. אחת מהן משתמשת במשפט השלמות של גדל. המשפט הזה מחבר בין "אין סתירה" לבין "יש מודל". דרך אחרת היא טופולוגית. שם מסתכלים על מרח...
אי-שוויון ברנולי
אי-שוויון ברנולי אומר משהו פשוט: אם x גדול מ־-1 ו־n הוא מספר שלם לא שלילי, אז להעלות את 1+x בחזקת n נותן תוצאה לא פחותה מ־1 ועוד n פעמים x. המשפט הזה עוזר להבנה של רשימות מספרים שעולות או יורדות. לדוגמה, הביטוי (1+1/n)^n גדל כשה־n גדול, והביטוי (1+1/n)^{n+1} קטן. הגבול המשותף של שתי הרשימות הוא מספ...
פרדוקס בוחן הפתע
פרדוקס בוחן הפתע (פרדוקס התליין) מורה אומר שיש בוחן פתאומי בשבוע הבא בתשע. התלמידים מנסים לנחש מתי. הם חושבים שהבוחן לא יכול לקרות, אז לא לומדים. ביום שלישי המורה נותן את הבוחן והם מופתעים. שואלים איפה הם טעו. חוקר בשם קוויין אמר שזו בעיה שנראית סותרת. מומחים אחרים חשבו על פתרונות שונים. התופעה מו...
כשלי היקש
כשלי היקש הם טעות של הכללה. אינדוקציה היא להסיק כלל מדוגמה. הטעות קורית כשמבחינים במקרה אחד ומכלילים. יש שני סוגים....
אוגוסטוס דה מורגן
אוגוסטוס דה מורגן (1806, 1871) היה מתמטיקאי בריטי חשוב. הוא היה הפרופסור הראשון למתמטיקה ביוניברסיטי קולג' לונדון. דה מורגן נולד בהודו וחזר לאנגליה כשהיה תינוק. בילדותו ראייתו בעין אחת נפגעה. אביו מת כשהיה קטן. בגיל 16 התחיל ללמוד בקיימברידג'. בגיל 22 מונה לפרופסור במכללה החדשה בלונדון. הוא חקר א...
הסקת מסקנות
הסקת מסקנות היא כשמחשבים משהו חדש מתוך מה שכבר יודעים. המסקנה (רעיון חדש או תשובה) מגיעה בסוף החשיבה. לפעמים כדי לדעת משהו חדש צריך לקשר בין רעיונות. במדע מסיקים מסקנות מתוך ניסויים ובודקים אם הן נכונות. אינדוקציה (להוציא כלל מהדוגמאות) אומרת ללמוד כלל מתוך מקרים קטנים. דדוקציה (להוציא פרט מהכלל) א...
דייוויד יום
דייוויד יום היה פילוסוף הֵם (פילוסוף = אדם שחוקר שאלות על חשיבה ועולם) מסקוטלנד. הוא נולד ב-1711 ומת ב-1776. הוא כתב ספרים חשובים על איך אנשים חושבים. יום טען שידע מגיע בעיקר מהחושים (אמפיריציזם = רעיון שאומר שמה שלמדנו מהחושים חשוב). הוא ראה שצריך לבדוק דברים בעין כמו במדע. הוא דיבר על "רשמים"...
פילוסופיה של המדע
פילוסופיה של המדע שואלת למה ואיך המדע עובד. אמפיריציזם אומר שאנו לומדים מהתצפיות ומהניסויים. תצפית היא לראות או למדוד משהו. ריאליזם טוען שיש דברים שקיימים באמת, כמו אלקטרונים. אחרים טוענים שאלו רק רעיונות שימושיים. אינסטרומנטליזם אומר שתאוריות הן כלים להצלחה בניסויים, גם אם הן לא תמיד ממש אמת. ג...
מקרה פרטי
מקרה פרטי הוא דוגמה אחת. מקרה יחיד: דוגמה אחת בלבד. בדוגמה זו, יוסי הוא 'מקרה פרטי' של 'ישראלי'. תת-מקרה: קבוצה בתוך קבוצה. בדוגמה זו, 'תושבי חיפה' הם תת-מקרה של 'ישראלים'. במתמטיקה משתמשים בדוגמות כדי להסיק דברים. מודוס פוננס היא דרך להסיק מסקנה אם ההנחה נכונה. דוגמה: רוצים להראות ש־6 לא מס...
טריוויאלי (מתמטיקה)
"טריוויאלי" במתמטיקה פירושו משהו ברור ופשוט. למשל פתרון y=0 נחשב לפתרון טריוויאלי. קבוצה ריקה היא קבוצה שאין בה איברים. תת־חבורה טריוויאלית היא קבוצה שיש בה רק את איבר היחידה. יש גם טופולוגיה שנקראת טריוויאלית והיא מאוד פשוטה. המילה באה מהמילה הלטינית שמקורה ב־trivium. ה־trivium כללה שלוש אמנויות: ...
אי-שוויון הממוצעים
יש כמה דרכים לחשב "ממוצע" של מספרים. הנה ארבעה מהם: - ממוצע הרמוני: n חלקי סכום ההופכים. ההופך של מספר הוא 1 חלקי המספר. - ממוצע הנדסי: השורש של מכפלת כל המספרים. - ממוצע חשבוני: סכום המספרים חלקי n. - שורש ממוצע הריבועים: שורש של ממוצע הריבועים של המספרים. כל הממוצעים האלה מסודרים כך: הממוצע ההרמונ...
טיעון
טיעון הוא סדרת רעיונות שמובילה למסקנה. הנחה היא רעיון שמניחים בתחילה. מסקנה היא הרעיון שמסכמים בסוף. טיעונים עוזרים לנו להוכיח דבר מה או לשכנע מישהו. לפעמים משתמשים בטיעון כדי להראות שטעות בטענה. יש סוגים שונים של טיעונים. חלקם משווים דברים דומים, חלקם נשענים על מנהגים או על מה שאנשים אומרים. מ...
אמון
אמון אומר לסמוך שמישהו יעשה משהו בעתיד. נותן האמון זה מי שסומך. אנשים גם סומכים על דברים בטבע. לדוגמה, הם מניחים שכוח המשיכה יגרום לחפצים ליפול בלי משענת. אמון נרכש נבנה מניסיון. אם חבר עוזר שוב ושוב, נתחיל לסמוך עליו. אם הוא יכזיב, האמון יתפחת או יקטן. אמון מקדמי זה לסמוך שאנשים בדרך כלל יכולים...
הפרכה
הפרכה אומרת שהראינו שטענה לא נכונה. במתמטיקה הפרכה היא הוכחה שהשלילה נכונה. מספיק למצוא דוגמה אחת שמפריכה. למשל, הטענה "כל הראשוניים אי-זוגיים" נפרכת על ידי 2. לפעמים צריך הוכחה מורכבת. כך מראים שיש אינסוף מספרים ראשוניים על ידי הנחה שמובילה לסתירה. במדע ניסויים תומכים ברעיונות, אבל הם לא מוכיחים ...
הגדרה רקורסיבית
הגדרה רקורסיבית היא הגדרה שמפנה חזרה אל עצמה, אבל בדרך אחרת. תמיד יש גם חוק שעוצר את זה. החוק שנעצור בו קוראים תנאי עצירה. דוגמה פשוטה: להגיד "יהודי מי שאמו יהודיה". כאן בודקים את האם במקום את האדם. בדוגמה מתמטית: עצרת. כותבים 0! = 1. ואז n! = n · (n-1)! לכל שאר המספרים. כך בונים את הערך מהערך הפש...
פרדוקס העורב
בשנות הארבעים פילוסוף בשם קרל המפל הבחין בחידה חשובה. אינדוקציה היא ללמוד משהו מתוך הרבה דוגמאות. המפל חשב על זה. המשפט "כל העורבים שחורים" שווה במשמעותו למשפט "כל מה שלא שחור לא יכול להיות עורב". מדען בסיפור רואה כמה עורבים שחורים. הוא לא יכול לבדוק את כל העורבים. אז הוא בודק דברים שלא שחורים, למשל...
פרדוקס הסוסים
'פרדוקס הסוסים' נראה כמו הוכחה שאומרת שכל הסוסים זהים בצבע. זה שגוי. המתמטיקאי ג'ורג' פוליה הראה את זה כדי להראות שיש להיזהר בהוכחות. אם יש רק סוס אחד, ברור הצבע שלו. מניחים שעבור k סוסים כלם באותו צבע. נבחן קבוצה של k+1 סוסים. יוצאים סוס אחד, נשארים k סוסים בצבע אחד. מחזירים אותו ומוציאים סוס אחר...
פרדוקס הערמה
השאלה פשוטה: כמה גרגירי חול עושים "ערמה"? גרגר אחד לא נחשב ערמה. לעומת זאת, ערימה גדולה היא ברורה. שמים שתי הנחות: אחת, גרגר אחד לא ערמה. שתיים, אם משהו לא ערמה, הוספת גרגר אחד לא תהפוך אותו לערמה. אם חושבים כך בכל שלב, מגיעים למסקנה מוזרה: אף פעם לא תהיה ערמה. זו תוצאה שפוגעת בהיגיון שלנו. מה ז...
סדר טוב
סדר טוב הוא סדר שבו כל תת־קבוצה לא ריקה מתחילה עם איבר ראשון. (איבר ראשון הוא האיבר הקטן ביותר בקבוצה.) דוגמה פשוטה: המספרים הטבעיים מסודרים היטב. בכל קבוצה של טבעיים יש מספר הכי קטן. אבל בכל השלמים אין מספר ראשון. לכן הם לא מסודרים היטב. עבור המספרים הממשיים אומרים שיכולים לסדר אותם היטב בעזרת רע...
משפט החתונה
משפט החתונה אומר מתי אפשר לתת לכל קבוצה פריט מיוחד שונה. דמיינו קבוצת נשים וקבוצת גברים. כל אישה אוהבת כמה גברים. רוצים לתת לכל אישה גבר אחד שהיא אוהבת, ולוודא שכל גבר ניתן רק פעם אחת. התנאי הפשוט: כל קבוצה של k נשים יחד צריכה לאהוב לפחות k גברים. אם זה נכון לכל קבוצה, אז אפשר לשדך לכל אישה גבר ייח...
ספקנות
ספקנות פירושה לשאול שאלות ולא לקבל הכל כמובן מאליו. ספקן אוהב לבדוק לפני שמאמין. לפירון מאליס היה רעיון חשוב: אל תאמינו בלי לבדוק. פילוסופים אחרים כמו אנסידמוס וסקסטוס הרשימו אנשים עם הרעיונות האלה. יש ספקנים של מדע ושל פילוסופיה. ספקן מדעי רוצה ראיות מניסויים. "ראיות" הן ממצאים שמתקבלים בבדיקה. ...
הבינום של ניוטון
בינום הוא סכום של שני איברים, למשל x+y. נוסחת הבינום מראה איך לפתח (x+y)^n. לדוגמה קטן: (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2. עוד דוגמה: (x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4. המספרים 1,2,6,4 שמופיעים נקראים מקדמי בינום. הם נכתבים {n \choose k}. עצרת (!) היא מכפלת כל המספרים מ־1 עד המספר הנתון. מקדמ...
פוזיטיביזם
פוזיטיביזם אומר שהטבע אפשר לבדוק בעזרת מדע. מדע = דרך ללמוד דברים בעזרת ניסויים ותצפיות. מה שניתן לראות או למדוד חשוב כאן. החושים עוזרים למדענים לקבל נתונים. זה שונה מרעיונות שלא אפשר למדוד אותם. החוקר צריך להיות ניטרלי. ניטרלי = לא להביא דעות אישיות למחקר. הגישה הזאת צמחה במאה התשע-עשרה (המאה ה-19...
המשפט הקטן של פרמה
משפט קטן של פרמה אומר: אם p הוא מספר ראשוני ו-a הוא מספר שלם, אז a^p נותן את אותה שארית כמו a כשמחלקים ב-p. "שארית" היא מה שנשאר אחרי החלוקה. אם a מתחלק ב-p, זה ברור. אם לא, אפשר להכפיל את המספרים 1 עד p-1 ב-a. הכפלה כזו רק משנה את הסדר שלהם. מכפלת כולם מראה ש-a^{p-1} נותן 1 כשמחלקים ב-p. בביטוי (a...